3539 разработка управленческих решений-2

6.6. РЕШЕНИе ПРОБЛЕМЫ УТИЛИЗАЦИИ ОТХОДОВ В ГОРОДЕ Методом анализа иерархий (4 часов)

 

6.6.1. Цель работы

Освоение методики составления дерева целей и метода анализа иерархий в применении к целям развития городского хозяйства, а также выполнение оценки на деревьях с помощью ПЭВМ.

 

6.6.2. Общие положения

Графом называют фигуру, состоящую из точек - вершин, соединенных отрезками - ребрами. Выбор структуры графа определяется существованием тех отношений между элементами, которые он должен выразить.

Деревом называют связанный ориентированный граф, не содержащий петель; каждая пара его вершин соединяется единственной цепью. Только структура связанного ориентированного графа способна выразить отношения той или иной иерархии.

Деревом целей (решений) называют граф-дерево, выражающий отношения между вершинами - этапами или проблемами достижения некоторой цели. Дерево целей, вершины которого ранжированы, т.е. выражены количественными оценками их важности, широко используется для количественной оценки приоритета различных направлений развития. Построение такого дерева целей требует решения многих прогнозных задач, в частности: прогноза развития науки и техники; формулировки уровней и вершин дерева целей; формулировки критериев и их весов, ранжирования вершин. Каждая из этих прогнозных задач по необходимости решается методом экспертных оценок.

 

6.6.2.1. Иерархии

Очень часто при анализе интересующей нас структуры число элементов и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы.

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся  под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой)  независимы.

Рассмотрим ниже пример, который сделает понятие иерархии более ясным. Вопрос, который нас интересует, связан с колледжем: мы стремимся определить сценарий, согласно которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа. Назовем благосостояние колледжа общей целью. На нее влияют следующие силы: обучение, общественная жизнь, дух (атмосфера), наличие оборудования и внешкольная деятельность. Эти силы определяются следующими акторами (действующими лицами): академической администрацией, неакадемической администрацией, профессорско-преподавательским составом, студентами, попечителями. Мы опускаем очевидную обратную связь между силами и акторами. Различные акторы имеют определенные цели: профессорско-преподавательский состав может хотеть сохранить свою работу, расти профессионально, качественно проводить обучение; студенты могут быть заинтересованы в получении работы, женитьбе, получении хорошего образования и т. д. Наконец, имеется несколько возможных сценариев таких, как: статус-кво, акцент на профессиональное обучение, дальнейшее образование или превращение в религиозную школу. Сценарии определяют вероятность достижения целей, цели влияют на акторов, акторы направляют силы, которые наконец воздействуют на благосостояние колледжа. Таким образом, мы получаем иерархию (см. риснок).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Благосостояние колледжа

Общая цель

 

 

 

 

Силы

Обучение   Общественная      Дух      Наличие           Внешкольная

жизнь                      оборудования     деятельность

 

 

 

 

 

Акторы

Академическая    Неакадемическая    Професс.-преп.    Студенты    Попечители

администрация      администрация             состав

 

 

 

 

Сохранение работы

Профессиональный рост

Качественное проведе-

ние обучения

 

Получение работы

Женитьба

Получение хорошего

образования

 

 

Цели

 

 

 

Статус-кво            Акцент  на              Дальнейшее              Превращение в

проф. обучение            обучение             религиозную школу

Сценарии

 

 

Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаимодействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях. В математической теории иерархий разрабатывается метод оценки воздействия уровня на соседний верхний уровень посредством композиции соответствующего вклада приоритетов элементов нижнего уровня по отношению к элементу верхнего уровня. Эта композиция может распространяться вверх по иерархии. Каждый элемент иерархии функционально может принадлежать к нескольким другим различным иерархиям. Элемент может являться управляющей компонентой на некотором уровне одной иерархии или может просто быть элементом, раскрывающим функции нижнего или высшего порядка в другой иерархии.

6.6.2.1.1. Как построить иерархию. На практике не существует установленной процедуры генерирования целей, критериев и видов деятельности для включения в иерархию или даже в более общую систему. Это зависит от тех целей, которые мы выбираем для декомпозиции сложной системы. Следует помнить, что основные цели устанавливаются на вершине иерархии; их подцели - непосредственно ниже вершины; силы, ограничивающие акторы, - еще ниже. Силы доминируют над уровнем самих акторов, которые, в свою очередь, доминируют над уровнем своих целей, ниже которых будет уровень их возможных действий, и в самом низу находится уровень различных возможных исходов (сценариев) (см. рисунок).

Важным замечанием при иерархическом подходе к решению задач является то, что функциональное воспроизведение системы может быть различным у разных лиц, однако люди обычно приходят к согласию по нижнему уровню альтернативных действий, которые нужно предпринимать, и по следующему за ним уровню характеристик этих действий. Например, нижний уровень может состоять из различных маршрутов движения транспорта между двумя пунктами, а уровень характеристик может включать время следования, сужения, выбоины, безопасность и т. д. Лицо, формирующее иерархию, должно быть уверенным в том, что уровни естественно связаны друг с другом. При необходимости уровень может быть разбит на два уровня и более или совершенно удален.

6.6.2.1.2. Приоритеты в иерархиях. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель. Для большей ясности возвратимся к иерархии. Как уже было отмечено, нас интересует сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа. Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно обшей цели. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсюда несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. Затем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем действенность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий. Определим «степень влияния», или приоритеты, элементов одного уровня относительно их важности для элемента следующего уровня (определяется методом экспертных оценок). Например, если нам необходимо определить, как акторы влияют на какую-нибудь конкретную силу (к примеру, на «обучение»), надо попарно сравнить их влияние между собой и занести его в таблицу.

Так, если актор «Академ. адм-ция» на обучение влияет больше, чем актор «Студенты», то в строку «Академ. адм-ция» и столбец «Студенты» ставим 2, а в строку «Студенты» и столбец «Академ. адм-ция» ставим 1/2. Если эти влияния резко отличаются по своей значимости, то ставим 3 и 1/3 или 4 и 1/4 соответственно (как в нашем случае) и так далее. Если же влияния акторов на силу одинаковы, то ставим 1 и 1. По диагонали таблицы также проставляем единицы. Потом по строкам суммируем баллы. Находим общую сумму всех сумм (в нашем примере это 38) и делим на нее все суммы. Такие степени влияния акторов на силу «обучение». (Смотри таблицу, столбец 8.)

Точно так же составляем еще 4 таблицы, чтобы определить влияние акторов на другие силы, потом еще 2 для оценки влияния целей на акторы, далее еще 4 для оценки влияния сценариев на цели и, наконец, еще 5 для оценки влияния сил на общую цель. Если этот процесс представляется очень трудоемким, то разрешается упростить его, проставляя степени влияния (в нашем случае 0.3; 0.15; 0.39; 0.08 и 0.08) сразу, попарно не сравнивая элементы, но чтобы их сумма для одного элемента вышестоящего уровня равнялась 1. Точность при таком подходе уменьшается, но возрастает оперативность.

Теперь, когда найдены степени влияния сил на общую цель и степени влияния акторов на силы, можно путем их произведения найти степени влияния акторов на общую цель. Так, если S1, S2, S3, S4, S5 - степени влияния сил на общую цель, а A11, A12, A13, A14, A15 - степени влияния первого актора на силы, то степень влияния первого актора на общую цель:

A10 = A11S1 + A12 S2 + A13 S3 + A14 S4 + A15 S5 .                           ( 1 )

 

Академическая администрация

Неакадемичес-кая администрация

Професс.-преп. состав

Студен-ты

Попечители

Сумма

Влия-ние (делить на 38)

Академическая администрация

1

2

1/2

4

4

11,5

0,30

Неакадеми-ческая администра-ция

1/2

1

1/4

2

2

5,75

0,15

Професс.-преп. состав

2

4

1

8

8

15

0,39

Студенты

1/4

1/2

1/8

1

1

2,875

0,08

Попечители

1/4

1/2

1/8

1

1

2,875

0,08

 

Аналогично находим A20, A30, A40 и A50 - степени влияния других акторов на общую цель. Зная их, а также степени влияния целей на акторы, по формуле, аналогичной (1), найдем степени влияния целей на общую цель. Обобщенная формула нахождения степени влияния любого j-го элемента n-го уровня на общую цель выглядит так:

,                                                   ( 2 )

где k - число элементов в n-1 уровне; Ci0 - степени влияния элементов n-1-го уровня на общую цель; Cji - степени влияния j-го элемента n-го уровня на элементы n-1-го уровня.

Как уже было отмечено, нас интересует сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа. Эта вероятность и является степенью влияния сценариев на общую цель, Таким образом, проранжировав сценарии по степени влияния на общую цель, получим приоритетные сценарии и выберем для развития колледжа тот, который обладает максимальным влиянием.

6.6.2.2. Решение проблем утилизации отходов

6.6.2.2.1. Санитарная очистка города. Санитарная очистка  городов  среди  комплекса  задач  по  охране  окружающей  среды занимает важное место. Она направлена на содержание в чистоте селитебных территорий, охрану здоровья населения от вредного влияния бытовых отходов, их своевременный сбор, удаление и эффективное обезвреживание для предотвращения возникновения инфекционных заболеваний и охраны почвы, воздуха и воды городов и пригородных зон от загрязнения бытовыми отходами. Влияние результатов санитарной очистки на состояние окружающей среды зависит от того , насколько она качественно выполняется и полно охватывает весь необходимый комплекс работ.  Объем работ по санитарной очистке городов велик и в связи с интенсивным развитием городов постоянно возрастает. В современных условиях такой большой объем работ может быть своевременно и качественно выполнен только при высоком уровне механизации на всех стадиях технологической цепи. Получают интенсивное развитие разработка и производство специализированного  мусоровозного  автотранспорта.

Задачи санитарной очистки решаются на разных уровнях,  в связи с чем и планирование мероприятий по их осуществлению ведется на уровне региона (агломерации или группы городов),  города (городского района),  жилого массива,  а также дворовой территории и отдельного здания.  В общегородском масштабе решаются прежде всего вопросы о типе,  мощности и размещении предприятий по обезвреживанию ТБО, строительстве мусороперегрузочных станций,  комплектовании парков спецавтомашин в зависимости от типа жилой застройки,  характеристики дорожной сети,  расстояния вывоза и других местных условий.

6.6.2.2.2.  Выбор метода обезвреживания и утилизации ТБО. Известно более 20 методов обезвреживания и утилизации ТБО.   По каждому имеется 5 - 10 разновидностей технологий, технологических схем, типов сооружений. Методы обезвреживания и утилизации ТБО по конечной цели (по направленности) делятся на ликвидационные (решают в основном санитарно-гигиенические задачи) и утилизационные (решают и задачи экономного использования вторичных ресурсов).   По технологическому принципу различают биологические, термические, химические, механические и смешанные  методы.

Наибольшее распространение получили следующие методы:

1)           складирование на полигонах (ликвидационный биолого-меха-нический);

2)           сжигание (ликвидационный термический);

3)           компостирование (утилизационный биологический: ТБО содержат достаточное количество биогенных веществ для того, чтобы из них вырабатывать компост).

Простейшими и наиболее распространенными сооружениями по обезвреживанию ТБО являются полигоны. Отходы складируют на грунт с соблюдением условий, обеспечивающих защиту от загрязнения атмосферы, почвы прилегающих участков, поверхностных и грунтовых вод, препятствующих распространению болезнетворных микроорганизмов. На полигонах производят уплотнение ТБО, позволяющее увеличить нагрузку отходов на единицу площади сооружений и обеспечивающее экономичное использование земельных участков.  После закрытия полигонов поверхность земли рекультивируют для последующего использования.

6.6.2.2.3. Проект “Чистый город”. Главная цель - обеспечение потребностей г.Рязани по утилизации отходов. Проект включает в себя три направления: избежание образования отходов, повторное использование отходов и захоронение ТБО и промышленных отходов.

Избежать образования отходов можно двумя способами: либо с помощью информационных мер воздействия, направленных на снижение образования отходов (правовые и административные мероприятия или (общее информирование (агитация) населения через СМИ), либо изменив технологии производства (может быть достигнуто либо мероприятиями, направленными на качественное изменение состава отходов (сокр. количества вредных и ценных веществ), либо более полным использованием сырья, либо установлением системы возврата транспортных упаковок.

Повторное использование отходов подразумевает применение шламов очистных сооружений, либо раздельный сбор отходов и дальнейшую переработку, либо переработку ранее не используемых отходов. Применение шламов очистных сооружений можно разделить на применение шламов в строительстве, вынос шламов в с/х угодья в качестве удобрений и очистку шламов очистных сооружений (кондиционирование, обезвоживание и сушка, анаэробное сбражирование и т.п.). Раздельный сбор отходов и дальнейшая переработка подразумевают: установление системы механической сортировки отходов для дальнейшей раздельной утилизации и переработки, отдельный вывоз крупногабаритных отходов для извлечения из них полезных компонентов и сепарацию промышленных отходов (выделение стекла, полиэтилена, цв. металлов). В рамках переработки ранее не используемых отходов можно установить системы сбора биоотходов для дальнейшей переработки (компостирование и т.п.) или наладить переработку старых автошин.

Обеспечить потребности г.Рязани по утилизации отходов можно также и «старым, проверенным» способом - захоронением ТБО и промышленных отходов путем продления срока их службы, либо снижением риска их эксплуатации. Первое достигается улучшением технологии укладки отходов на полигоне ТБО (покрытие уложенной зоны, предварительная биомеханическая обработка),  созданием карты размещения отходов на полигоне ПО (межслойный дренаж, разделение или группировка отходов) или мониторингом вод на полигонах ТБО и ПО (сбор дренажных вод, наблюдательные скважины, гидроизоляция). Снизить риск можно установлением входного контроля на полигонах ТБО и ПО (визуальный, с помощью весов, по документам о характере груза), организацией пожаротушения на полигоне ТБО, пассивной и активной дегазацией на полигоне ТБО, а также установлением улавливающих ограждений на полигонах  ТБО и ПО.

6.6.3. Содержание домашней подготовки

6.6.3.1. Ознакомиться по рекомендуемой литературе с методикой принятия решений с помощью дерева целей  (в частности, с методом анализа иерархий).

6.6.3.2. Подготовить теоретическую часть отчета по лабораторной работе.

 

6.6.4. Порядок выполнения работы

6.6.4.1. Построить дерево целей для решения проблемы обеспечения потребностей г.Рязани по утилизации отходов, используя данные проекта «Чистый город», и занести его в отчет.

6.6.4.2. Построить иерархию, руководствуясь п.2.1.1 и используя данные приложения 1, из элементов, отмеченных плюсами для вашего варианта, и занести ее в отчет.

6.6.4.3. Задать самостоятельно методом экспертных оценок степени влияния элементов каждого уровня на каждый элемент предыдущего уровня. (При проведении расчетов используйте программу saati.exe, строго последовательно вводя данные.)

6.6.4.4. Провести расчеты по формуле (2) и полученные степени влияния каждого сценария на общую цель занести в отчет. (При проведении расчетов используйте программу saati.exe.)

6.6.4.5. Исходя из полученных результатов сделать выводы об использовании сценариев, то есть выбрать 2 - 3 лучших варианта решения проблем утилизации отходов из разных ветвей дерева целей.

 

6.6.5. Контрольные вопросы

6.6.5.1. Содержание методики принятия решений с помощью иерархий.

6.6.5.2. Определение понятия “дерево целей”, построение дерева.

6.6.5.3. Методика построения иерархий.

6.6.5.4. Приоритеты в иерархиях.

6.6.5.5. Порядок принятия решения по результатам расчета с помощью иерархий.

 

Приложение 1

Варианты исходных данных

ОБЩАЯ ЦЕЛЬ: обеспечение потребностей г.Рязани по утилизации отходов


В а р и а н т ы

 

СИЛЫ

1

2

3

4

5

6

1

Деятельность, во избежание образования отходов

+

+

+

+

+

+

2

Повторное использование отходов

+

+

+

+

+

+

3

Захоронение ТБО и промышленных отходов

+

+

+

+

+

+

 

В а р и а н т ы

 

АКТОРЫ

1

2

3

4

5

6

1

Администрация города

 

+

+

+

+

+

2

Средства массовой информации

+

 

+

+

+

+

3

Предприятия по утилизации отходов и их работники

+

+

 

+

+

+

4

Предприятия, перерабатывающие и/или использующие вторсырье

+

+

+

 

+

+

5

Городские предприятия - источники отходов

+

+

+

+

 

+

6

Городские жители

+

+

+

+

+

 

 


В а р и а н т ы

 

ЦЕЛИ

1

2

3

4

5

6

1

Наличие благоприятной экологической ситуации в городе

 

+

+

+

+

+

2

Возможность устранить свои отходы

+

 

+

+

+

+

3

Получение ЗП и прибыли от реализации сценариев

+

+

 

+

+

+

4

Ресурсосбережение

+

+

+

 

+

+

5

Образование новых или сохранение старых раб. мест в связи с реализацией сценариев

+

+

+

+

 

+

6

Предупреждение экологических катастроф в городе в будущем

+

+

+

+

+

 

 

В а р и а н т ы

 

СЦЕНАРИИ

1

2

3

4

5

6

1

Правовые и административные мероприятия, направлен-ные на снижение образования отходов

+

+

+

+

+

+

2

Мероприятия, направленные на качественное изменение состава отходов (сокр. количества вред. и ценных веществ)

 

+

+

 

+

+

3

Изменение технологий производства (более полное использование сырья, снижение доли и вредности отходов)

+

 

+

+

 

+

4

Общее информирование (агитация) населения через СМИ, направленное на снижение образования отходов

+

+

+

+

+

+

5

Установление системы сбора биоотходов для дальнейшей переработки (компостирование, ...)

+

+

 

+

+

 

6

Установление системы механической сортировки отходов для дальнейшей раздельной утилизации и переработки

 

+

+

 

+

+

7

Отдельный вывоз крупногабаритных отходов для извлечения из них полезных компонентов

+

 

+

+

 

+

8

Сепарация промышленных отходов (выделение стекла, полиэтилена, цв. металлов)

+

+

 

+

+

 

9

Установление системы возврата транспортных упаковок

 

+

+

 

+

+

10

Очистка шламов очистных сооружений (кондиционирование, обезвоживание и сушка, анаэробное сбраживание и т.п.)

+

 

+

+

 

+

11

Вынос шламов в с/х угодья в качестве удобрений

+

+

 

+

+

 

12

Применение шламов в строительстве

 

+

+

+

+

 

13

Переработка старых автомобильных шин

+

 

+

 

+

+

14

Установление входного контроля на полигонах ТБО и ПО (визуальный, с помощью весов, по документам о характере груза)

+

+

 

+

 

+

15

Организация пожаротушения на полигоне ТБО

 

+

+

+

+

 

16

Улучшение технологии укладки отходов на полигоне ТБО (покрытие уложенной зоны, предварительная био - мех. обработка)

+

 

+

 

+

+

17

Установление улавливающих ограждений на полигонах  ТБО и ПО

+

+

 

+

 

+

18

Пассивная и активная дегазация на полигоне ТБО

 

+

+

+

+

 

19

Карта размещения отходов на полигоне ПО (межслойный дренаж, разделение или группировка отходов)

+

 

+

 

+

+

20

Мониторинг вод на полигонах ТБО и ПО (сбор поверхностных и дренажных вод, наблюдательные скважины, гидроизоляция)

+

+

 

+

 

+

6.6.6. Библиографический  список

6.6.6.1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.

6.6.6.2. Системный анализ в экономике и организации производства / Под ред. С.А. Валуева. Л.: Политехника, 1991.

6.6.6.3.Теория прогнозирования и принятия решений / Под ред. С.А. Саркисяна М.:Высшая школа, 1977.

6.6.6.4. Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой. М.: Экономика, 1975.

6.6.6.5. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. М.: Прогресс, 1974.


6.7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ СТРАТЕГИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (4 часов)

6.7.1. Цель работы

Ознакомиться с методами принятия решений в условиях стратегической неопределенности, используя при этом методы теории стратегических игр.

 

6.7.2. Общие положения

6.7.2.1. Описание поведения фирм на рынке

На рынке функционируют  две конкурирующие фирмы. В регионе, где они расположены, предполагается осуществить долгосрочный проект, формирующий спрос на определенную продукцию. В данный момент эти фирмы ее не производят. Для подготовки производства необходимо определенное время, которое зависит от типа (модели) продукции. Фирмы должны выбрать свои стратегии, тип продукции, которую они будут выпускать. Суммарная потребность проекта в продукции (D), время начала осуществления проекта (t0), его продолжительность (Т) известны заранее и соответственно равны: D=200 единиц, Т= =200 дней, t0 через 60 дней.

Пусть имеются три стратегии фирмы 1:  и три стратегии фирмы 2: . Введем упрощение : пусть стратегии первой и второй фирм одинаковы, т.е.  и  соответствует первый тип продукции,  и  - второй,  и  - третий, причем каждый последующий тип качественнее предыдущего и требует больше времени на подготовку к производству. Время подготовки к производству: 30, 80 и 100 дней для 1-го, 2-го и 3-го типов продукции соответственно.

Будем считать, что дневная потребность (d) организации, осуществляющей проект (заказчика), постоянна и d=D/T=1. Пусть 1-я фирма выбирает первую стратегию, 2-я фирма - вторую. Тогда в момент t0 заключается первый контракт только с первой фирмой, т.к. только она готова к производству. Пусть продолжительность первого контракта (Т1) - 30 дней, всех последующих - 60 дней. Пусть сумма первого контракта Т1 d = 30 единиц. По окончании первого контракта вторая фирма также готова к производству и заказчик заключает последующие контракты с обеими фирмами. Общая сумма контрактов за это время ( Т - Т1 ) d делится между фирмами. Обозначим  - выигрыш первой (второй) фирмы - общая сумма контрактов, заключенных первой (второй) фирмой за все время осуществления проекта, если первая фирма выбирает i-й тип продукции (стратегию), вторая - j-ю стратегию. Сумма контрактов, заключенных обеими фирмами, равняется потребности заказчика:

,                                                      (1)

, а значит,   , где  - доля первой фирмы в сумме контрактов, заключенных при готовности к производству обеих фирм при i-й стратегии фирмы 1, j-й  -  фирмы 2. Пусть=0,3, тогда = 30 + +(200 - 30) 0,3 = 81  <   = 200 - 81 = 119.

Если фирма  1 выбирает вторую стратегию, фирма 2 - третью, то к моменту начала проекта t0 ни одна из фирм не готова к производству и начало работ проекта откладывается до готовности одной из фирм - время t2=80, время осуществления проекта и сроки контракта не изменяются. Проводя рассуждения, схожие с вышеизложенными, можно получить, что .

Пусть первая фирма выбирает третью стратегию, вторая фирма - первую. Тогда первый и второй контракты заключаются только со второй фирмой на сумму Т1 d + Т2 d , так как в момент их заключения ( t0 = 60 и t0+T1 =90) первая фирма не готова к производству. Выигрыш первой фирмы  - некоторая доля от суммы оставшихся контрактов . Пусть Т2= 60, f31= 0,8 , тогда = (200 - 30 - 60) 0,8=88 < =200 - 88 = 112.

Допустим, что если фирмы выбирают одинаковую стратегию k, то . В общем случае выигрыш первой фирмы находится по формуле

,                                           (2)

если к моменту заключения  первого контракта готова только фирма 1, иначе

,                                                  (3)

где l - номер последнего контракта, заключенного с первой фирмой, при неготовности второй, m - номер последнего контракта, заключенного со второй фирмой при неготовности первой.

Для нахождения решения будем использовать платежную матрицу , которая в общем виде выглядит так:

 

Q ==  ,                                                  (4)

где m - число стратегий первого игрока, n - второго.

По формулам (1) - (3) для каждой из фирм можно составить матрицу значений ее выигрыша при различном сочетании стратегий (платежную матрицу). Для первой фирмы она имеет вид:

,

для второго игрока соответственно:

,

где в i-й строке дан выигрыш фирм при использовании i-й стратегии первой фирмой, и в j-м столбце   - выигрыш при использовании второй фирмой j-й стратегии, а не наоборот.

В изложенном примере с учетом того, что фирмы не знают стратегий друг друга, сделать выбор типа продукции сложно, т.к. вторая стратегия обеспечивает больший выигрыш, чем первая, при их использовании фирмами 1 и 2, третья -  больший, чем вторая, первая -  больший, чем третья. Ответ на вопрос выбора стратегии дает  теория антагонистических  игр.

 

6.7.2.2. Основные положения теории антагонистических игр

Реальные конфликтные ситуации обычно очень сложны и потому трудны для непосредственного анализа благодаря большому количеству сопутствующих факторов, из которых многие, однако, являются второстепенными. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликтной ситуации, ее необходимо упростить, учитывая только основные факторы. Упрощенная схематизированная модель конфликтной ситуации называется игрой.

В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников; в первом случае игра называется парной, во втором - множественной.

Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является парная антагонистическая игра. В ней участвуют два игрока, преследующие прямо противоположные цели. Парная антагонистическая игра относится к классу так называемых игр с нулевой суммой. В этих играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон равна нулю. Действительно, в парной антагонистической игре один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй.

В нашем примере сумма выигрышей  при всех сочетаниях постоянна и равна потребности в продукте заказчика. Вычитая половину этой потребности, равной 100 единицам, из всех элементов платежных матриц для каждой из фирм, получаем две матрицы:   и  , для которых  .

Общий выигрыш , значит, мы имеем дело с парной антагонистической игрой.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Игра конечна, если конечно число возможных стратегий у каждого из игроков, и бесконечна в противном случае.

Основная теорема теории игр - так называемая теорема о существовании решения игры - гласит:

«Любая конечная антагонистическая игра имеет решение, т.е. оптимальные стратегии для обоих игроков и соответствующую цену игры.»

 

6.7.2.3. Решение конечных антагонистических игр

Процесс поиска решения любой конечной парной антагонистической игры целесообразно строить состоящим из следующих основных этапов:

1.Упрощение игры в целях уменьшения ее размерности.

2.Проверка игры на седловую точку; если игра имеет седловую точку, то следует перейти к этапу 3, иначе - к этапу 4.

3.Решение игры в чистых стратегиях.

4.Решение игры в смешанных стратегиях.

6.7.2.4. Упрощение игры

Упрощение игры сводится к вычеркиванию некоторых излишних стратегий из платежной матрицы. Строка, соответствующая i-й стратегии игрока 1, вычеркивается, если существует такая строка-стратегия , что  для любого , т.е. стратегия к обеспечивает игроку 1 выигрыш не меньший, чем стратегия i при любой стратегии игрока 2.

Столбец j вычеркивается, если существует такой столбец к, что  для любого .

 

6.7.2.5. Проверка игры на седловую точку. Решение игры в чистых стратегиях

Для получения решения игры введем понятие максимина и минимакса.

Максимином, или нижней ценой игры, называют элемент платежной матрицы, равный максимуму из минимумов по строкам матрицы. Обозначим максимин через , тогда

.                                                  (5)

Минимаксом, или верхней ценой игры, называется элемент платежной матрицы, равный минимуму из максимумов по столбцам матрицы. Обозначим минимакс через , тогда

.                                                (6)

 

В нашем примере платежная матрица игрока 1 имеет вид:

 

 

 

 

Очевидно, что , стратегия игрока 1, соответствующая максимину , называется максиминной стратегией. Стратегия игрока 2, соответствующая минимаксу , называется минимаксной стратегией.

Максиминная и минимаксная стратегии образуют пару так называемых минимаксных стратегий.

Существуют игры, для которых максимин равен минимаксу, т.е. . Элемент платежной матрицы, соответствующий максиминной стратегии игрока 1 и минимаксной стратегии игрока 2, называется седловой точкой. Значение этого элемента является чистой ценой игры . Совокупность минимаксных стратегий  и чистая цена игры  являются решением игры в чистых стратегиях. Под чистой стратегией понимается стратегия, выбираемая игроком в результате сознательного акта, без привлечения для своего выбора какого-либо случайного механизма.

 

6.7.2.6. Игры без седловых точек

Игры с седловыми точками встречаются достаточно редко. Более часто встречаются игры без седловой точки, для которых выполняется неравенство:

< .                          (7)

В данном случае решение ищется в смешанных стратегиях. Смешанной называется стратегия, состоящая в чередовании своих чистых  стратегий с определенными частотами. Отклоняясь от минимаксных стратегий, игроки могут обеспечить себе: игрок 1  - выигрыш больше максимина, игрок 2  - проигрыш меньше минимакса. При этом они стараются скрыть выбор стратегии. Самый надежный для этого путь - выбирать свою стратегию случайным образом. Игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию  с вероятностью, , игрок 2  выбирает свою j-ю стратегию с вероятностью , . Смешанные стратегии обозначаются: для игрока 1 - , для игрока 2  - .

Причем выполняются условия :        и                (8)

Для любой игры без седловой точки существует пара оптимальных стратегий  и , которые вместе с ценой игры  - платежом, соответствующим этим стратегиям, образуют решение парной антагонистической игры в смешанных стратегиях.

 

6.7.2.7. Методы решения игр в смешанных стратегиях

Рассчитаем стратегию  игрока 1, которая должна обеспечить игроку 1 выигрыш не меньше  при любом поведении противника и равный  при его оптимальном поведении.

Пусть > 0, т.е. , этого всегда можно добиться, прибавляя ко всем элементам  достаточно большое число М. При этом цена игры увеличится на М, а стратегии не изменятся. Исходя из этого при выполнении данной работы производить вычитание D / 2 из элементов по платежной матрицы первого игрока не нужно. Цена игры, рассчитанная при этом, будет соответствовать ожидаемому размеру заключенных фирмой 1 контрактов.

Пусть игрок 1 применит свою смешанную стратегию , а игрок 2  - чистую стратегию , тогда средний выигрыш игрока 1 равен

, .                                                      (9)

Средний выигрыш игрока 1 должен удовлетворять условию , откуда следует n условий:

; .                                                   (10)

Введем обозначение , .

С помощью введенных обозначений получаем:

.

,                                             (11)

Так как игрок 1 стремится максимизировать свой выигрыш, то частоты  должны быть выбраны такими, чтобы доставить максимум цене игры , что равносильно требованию минимизировать величину , что равносильно требованию:

.                                                      (12)

Таким образом, задача определения оптимальной стратегии игрока 1 свелась к задаче линейного программирования.

Аналогичным образом можно найти оптимальную стратегию игрока 2.

При этом задача сводится к отысканию максимума величины

(13)

при следующих ограничениях :

(14)

где , .

Эти задачи образуют пару двойственных задач линейного программирования. Первоначальная при этом называется исходной, или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается главным образом в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. При этом в двойственной задаче линейного программирования коэффициентами целевой функции являются правые части ограничений исходной задачи и наоборот.

В нашем примере ограничения для первого игрока выглядят следующим образом:

 

Найдя методами линейного программирования L1=L2 ; zi1 , ; zj2 , , решение игры можно найти по формулам:

,                                                              (15)

,  ,                                                   (16)

, .                                                   (17)

6.7.3. Содержание домашней подготовки

6.7.3.1. Ознакомиться с целью выполнения работы,  теоретическими сведениями.

6.7.3.2. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

 

6.7.4. Порядок выполнения работы

 

6.7.4.1. Рассчитать сумму контрактов, заключенных первым игроком, для всех сочетаний выбранных типов продукции первой и второй фирмами по формулам (1), (2), (3) и составить платежную матрицу.

6.7.4.2. Упростить матрицу, проверить на наличие седловой точки, найти minmax и maxmin.

6.7.4.3. Рассчитать на основе платежной матрицы игрока 1, используя программу «doub2» и формулы (15), (16), (17), оптимальную стратегию игрока 2, цену игры и оптимальную стратегию игрока 1 на основе двойственных оценок, выдаваемых программой.

 

6.7.5. Отчет о работе

 

6.7.5.1. Цель работы.

6.7.5.2. Платежная матрица (в зависимости от варианта задания).

6.7.5.3. Оптимальные стратегии фирм и цена игры.

 

6.7.6. Контрольные вопросы

 

6.7.6.1. Основные этапы нахождения оптимальной стратегии.

6.7.6.2. Порядок упрощения платежной матрицы.

6.7.6.3. Решение игр в смешанных стратегиях.

6.7.6.4. Решение игры с седловой точкой.

 

6.7.7. Варианты заданий

Пусть время подготовки производства одинаково для 1-й и 2-й фирм и всех вариантов.

 

Время подготовки производства

Тип изделия

1

2

3

4

Время подготовки

28

37

45

52

Дневная потребность заказчика (d) - 1 шт., продолжительность проекта (Т) - 60 дней. Время начала осуществления проекта (t0) для нечетных вариантов - 30 дней, для четных - 40 дней. Продолжительность первого контракта - 10 дней, последующих - 25 дней.

 

 

Доля первой фирмы fij, %, в сумме контрактов при готовности обеих фирм к производству

 

Варианты 1-2    Варианты 3-4   Варианты 5-6    Варианты 7-8

Тип

продукции

второго

Тип                    игрока

продукции

первого игрока

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

1

50

30

15

5

 

50

35

25

10

 

50

25

10

0

 

50

20

5

0

2

70

50

32

15

 

65

50

38

25

 

75

50

30

10

 

80

50

25

5

3

85

68

50

30

 

75

62

50

35

 

90

70

50

25

 

95

75

50

25

4

95

85

70

50

 

90

75

65

50

 

100

90

75

50

 

100

95

75

50

 

Приложение

 

Использование программы «doub