3539 РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

6.2. ПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ (4 часов)

 

6.2.1. Цель работы

Целью работы является изучение транспортной задачи линейного программирования, её расчёта  на ЭВМ и использования для построения и решения других экономико-математических моделей разработки и принятия решений.

6.2.2. Общие положения

Целевая функция и ограничения транспортной задачи имеют вид:

,

,                                                (1)

,

где  Аi – количество продукции, производимое в i–м пункте производства (вектор производства);

ВJ – количество продукции, потребляемое в  j–м пункте потребления (вектор потребления);

Сij – затраты по перевозке единицы продукции из i–го пункта в j-й (матрица затрат);

xij – количество продукции, перевозимое из  i–го пункта в j–й.

Транспортная  задача называется закрытой, если

и открытой, если

Открытая задача при решении сводится к закрытой путём введения фиктивных пунктов производства или потребления, причем затраты по перевозке из фиктивных и в фиктивные пункты принимаются равными нулю.

Для решения транспортной задачи используется несколько методов, самым распространенным из которых является метод потенциалов, однако в данной лабораторной работе транспортная задача решается двойственным симплекс-методом. Для этого в программе исходная модель предварительно приводится к единому положительному базису.

Достоинством данного алгоритма является его простота, а недостатком – большой объем памяти.

Транспортная задача имеет ряд приложений к решению экономических задач. Так, модель(1) можно использовать для решения задачи закрепления за станками операций по обработке деталей при замене в целевой функции min и max. Пусть на предприятии имеется m видов станков, каждый из которых может выполнить n видов операций. При этом Аi – максимальное время работы станка i-го вида, Вj – время выполнения j-й операции, Сij - производительность i-го станка при выполнении j-й операции (число деталей в единицу времени), хij – время работы i-го станка на j-й операции. Сij хij – количество j -x  деталей, обработанных на i–м станке. Тогда целевая функция (количество деталей, обработанных на всех станках) будет иметь вид:

.

Так как максимальное время работы станков и время каждой операции ограничены, то получаем

 

При решении задачи её сводят к транспортной путём умножения коэффициентов целевой функции на  –1.

Другим распространённым приложением транспортной задачи является задача о назначениях, которая закрепляет m работников за n работами. В этом случае в модели (1) Ai = 1 и Вj = 1 - целевая функция на max, Cijпроизводитель i-го работника на j-й работе. В этом случае неизвестным является булева переменная dij:

 

 

 

Целевой функцией будет максимальная производительность всей бригады:

.

Считается, что работник может выполнить только одну работу и работа выполняется только одним работником, т.е.

 

При решении задачи о назначениях она либо сводится к транспортной, либо решается собственными методами. Задача о назначениях может быть использована при распределении между предприятиями корпорации «портфеля заказов». Здесь Сij имеет смысл затрат по выполнению j-го  заказа на i-м предприятии и целевая функция будет на min.  Неизвестным будет также dij:

 

 

 

Сама  модель будет иметь вид:

,

 

 

 

6.2.3. Содержание домашней подготовки

6.2.3.1. Ознакомиться с моделью транспортной задачи и её применениями в экономике.

6.2.3.2. Изучить алгоритм решения транспортной задачи.

6.2.3.3. Повторить вопросы подготовки информации для решения на ЭВМ и команды работы с терминалом.

6.2.3.4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

 

6.2.4. Порядок выполнения работы

6.2.4.1. Ознакомиться с вариантом исходных данных.

6.2.4.2. Подготовить исходные массивы.

6.2.4.3. Построить модели:

а) транспортной задачи закрытой и открытой,

б) задачи закрепления за станками операций,

в) задачи о назначениях,

г) задачи о распределении портфеля заказов.

6.2.4.4. Решить на ЭВМ с помощью программы «TRAN»:

а) транспортную задачу (открытую и закрытую);

б) задачу закрепления операции за станками.

6.2.4.5. Решить на ЭВМ с помощью программы «ATRA»:

а) задачу о назначениях;

б) задачу о распределении портфеля заказов.

6.2.4.6. Проанализировать результаты решения.

 

6.2.5. Методические указания

6.2.5.1. Подготовка исходной информации.

Для каждого варианта в табл.1 задаются векторы производства А, в табл.2 – векторы потребления В, в табл.3 – матрица коэффициентов целевой функции Cij. Для всех типов решаемых задач используется одна и та же информация, которая в зависимости от типа задачи приобретает конкретный экономический смысл. Для решения открытой транспортной задачи для четных вариантов из Ai, а для нечетных из Вi вычитается число 20.

6.2.5.2. Построение моделей.

В соответствии с п.2 строятся четыре модели:

а) транспортная задача (закрытая и открытая);

б) задача закрепления за станками операций;

в) задача о назначениях;

г) задача о распределении портфеля заказов.

При построении моделей они представляются как в общем виде, так и с конкретными (для каждого варианта) коэффициентами.

6.2.5.3. Решение на ЭВМ транспортной задачи (закрытой и открытой) и задачи закрепления за станками операций. Также эта программа используется и для других работ (для нормирования скоростей движения автобусов на городских маршрутах).

Для решения используется программа «TRAN» (язык «FORTRAN»).

Для транспортной задачи вводятся число поставщиков М, число потребителей N, вектор поставщиков Ai, вектор потребителей Bj, матрица затрат по перевозкам Cij по строкам (после каждой строки  <ВК>). На дисплей выводятся величины перевозок xij и суммарные затраты Z со знаком (-).

Для задачи закрепления операций вводятся число станков М, число операций N, вектор времени работы станков Ai, вектор операций Bj, матрица производительности Cij с обратными знаками. На дисплей выводятся время работы станков по операциям xij и суммарная производительность участка.

6.2.5.4. Решение на ЭВМ задачи о назначениях и задачи о распределении портфеля заказов.

Для решения используется программа «ATRA» (язык «FORTRAN»).

Для задачи о назначениях вводятся число работников (работ) М, признак максимизации «I», матрица производительностей Cij по строкам (после каждой строки <ВК>). На печать выводится таблица назначений.

Для задачи о распределении вводятся число предприятий (заказчиков М), признак минимизации «0», матрица затрат Cij. На печать выводится таблица назначений.

 

6.2.6. Отчет о работе

Отчет о работе должен содержать описания всех моделей в общем виде, результаты решения на ЭВМ с конкретными значениями коэффициентов, анализ результатов.

 

6.2.7. Контрольные вопросы

6.2.7.1. К какому типу моделей относятся транспортная задача и задача о назначениях (по классификации)?

6.2.7.2. Какие методы используются для решения транспортной задачи?

6.2.7.3. Использование транспортной задачи в экономике (конкретные производственные задачи).

6.2.7.4. Открытая и закрытая транспортные задачи. Сведение открытой задачи к закрытой.

 

 

6.2.8. Исходные данные

Таблица 1

Вариант

Вектор производства

А1

А2

А3

А4

А5

1

100

250

200

300

 

2

100

400

100

100

50

3

450

400

150

150

250

4

450

450

300

400

350

5

600

150

500

400

 

6

180

190

120

100

510

7

150

500

450

 

 

8

50

100

200

300

350

Таблица 2

Вариант

Вектор потребления

В1

В2

В3

В4

В5

В6

В7

1

200

200

100

100

250

 

 

2

50

100

150

200

250

 

 

3

200

300

400

250

150

100

 

4

400

350

50

150

200

300

500

5

250

500

200

150

400

150

 

6

180

190

120

610

 

 

 

7

50

100

200

150

300

100

200

8

400

200

100

300

 

 

 

Таблица 3

Вариант

Матрица затрат

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

10

7

4

1

4

3

2

5

8

12

2

2

7

10

6

11

1

6

8

12

16

3

8

5

3

2

2

16

10

8

6

15

4

11

8

12

16

13

4

1

9

11

13

5

3

2

7

7

15

10

19

17

16

7

6

13

14

11

8

5

11

15

20

3

8

7

9

9

8

3

15

6

18

9

3

2

8

4

5

1

8

6

14

5

21

4

6

 

6.2.9. Библиографический список

6.2.9.1. Кузнецов О.Н. и др. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1976.

6.2.9.2. Терёхин В.И., Федотов Н.И.. Моделирование оптимального планирования и управления РЭП.  Рязань: РРТИ, 1979.

 

 

6.3. РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (4 часов)

6.3.1. Цель работы

Целью работы являются изучение построения моделей линейного программирования, способов учета затрат на производство продукции и применение методов линейного программирования для максимизации прибыли и объема выпуска продукции предприятием.

6.3.2. Общие положения

6.3.2.1 Постановка задачи оптимизации производственной программы предприятия

Для большинства экономических задач характерна ситуация, когда цель может быть достигнута различными способами при определенных огра­ничениях.

Самый эффективный вариант достижения цели называется оптимальным планом. Оптимальный план обеспечивает либо заданный производственный результат при минимальных затратах, либо максимальный производственный эффект при заданном объеме ресурсов.

Все задачи оптимального планирования имеют три общих момента:

1) наличие единой цели (это обычно либо увеличение объема произ­водства, либо снижение затрат);

2) ограниченность ресурсов (трудовых, материальных, финансовых);

3) возможность достижения конечной цели различными способами (различными вариантами использования ресурсов).

Постановки задач оптимального планирования различаются критериями оптимизации и ограничениями.

 

1. Критерии оптимальности:

а) максимум прибыли, получаемой от реализации продукции m:

,

где Pj - цена j-го изделия,

Sj - себестоимость j-го изделия,

Xj - выпуск j-го изделия, шт.

Этот критерий приводит к наиболее полному использованию ресур­сов за счет увеличения выпуска в первую очередь наиболее рентабельной продукции.

В лабораторной работе данный критерий оптимальности имеет вид:

,

где    AVCj – переменные издержки производства j-го изделия,

AFC – постоянные издержки производства.

Прибавление или вычитание константы на результат влияния не оказывает, поэтому целевая функция примет вид:

;

б) минимум себестоимости товарного выпуска:

,

где Cj - себестоимость j-го изделия.

Критерий обеспечивает наибольшую экономию ресурсов при мини­мально допустимом выпуске (в лабораторной не рассчитывается);

в) максимум объема реализованной продукции:

.

Этот критерий ориентирует предприятие на увеличение производс­тва продукции с большой ценой и малой трудоемкостью.

 

2. Ограничения

Достижение сформулированных выше критериев оптимальности долж­но происходить при реальных ограничениях ресурсов предприятия:

а) ограничения по фонду времени работы оборудования:

,

где j=1,m - вид изделия,

z=1,s - номер цеха (категории работ),

kвн.z - коэффициент выполнения нормы в z-м цехе,

tjz - трудоемкость производства единицы j-й продукции в z-м цехе.

Здесь Tz - эффективный фонд времени работы оборудования за год в часах. Его можно найти по формуле:

,

где Fэф - эффективный фонд времени работы цеха в днях, который опре­деляется как "количество дней в году" - "праздничные и выходные дни" - "отпуска (30 дней)" - "время на ТО (5 дней)",

kсм.z - коэффициент сменности в z-м цехе,

Nz - количество оборудования в z-м цехе;

б) ограничения по материальным ресурсам (в лабораторной работе не используются) n:

,

где aij - норма расхода i-го материала на производство единицы j-го изделия,

Bi - максимальный запас i-го материала;

в) ограничения по выпуску продукции:

 

.                                       (1)

Ограничения по максимальному выпуску устанавливаются исходя из доли рынка, которую может получить наше предприятие по конкретным из­делиям (это можно выяснить, проведя соответствующее маркетинговое исс­ледование).

Второе ограничение связано с существованием точки безубыточности для конкретного производства. Эта точка характеризует объем продаж Q0, при котором покрываются издержки производства, но экономическая прибыль равна 0. Если объем продаж меньше Q0, то производство убыточно и убытки тем больше, чем меньше объем продаж. Если объем продаж больше Q0, то производство прибыльно: прибыль тем больше, чем больше выпуск: