3594 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Лабораторная работа № 1

 

МОДЕЛЬ  ОПТИМАЛЬНОЙ ЗАГРУЗКИ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

Цель работы. Знакомство с моделью  оптимального использования производственных мощностей, изучение основ теории двойственности и методов анализа свойств решений задач линейного программирования.

Теоретические сведения

Задачи оптимального использования производственных мощностей с экономической точки зрения являются частным случаем основной задачи производственного планирования. На основе загрузки мощностей строятся планы оптимального распределения  номенклатуры изделий между промышленными предприятиями или группами оборудования на предприятии.

Известны экономико-математические модели двух типов: задачи оптимальной загрузки невзаимозаменяемого оборудования (типа общей задачи линейного программирования); задачи загрузки взаимозаменяемого оборудования (типа распределительной задачи линейного программирования) [ 1 ].

Задачу оптимального использования производственных мощностей рассмотрим на примере невзаимозаменяемых групп оборудования, когда выполнение деталеопераций по каждому из производственных способов осуществляется на станках нескольких качественно различных групп (например, на токарных, фрезерных и др. станках) и в пределах данного варианта технологии оно не может быть передано на станки других групп.

Пусть i – индекс (номер) группы производственного оборудования;

m – общее число групп оборудования;

j – индекс (номер) вида производимой продукции или осуществляемых деталеопераций;

n – общее число производимых видов продукции;

s – индекс производственно- технологического способа;

Qj – общее число способов изготовления деталей j-го вида;

asij – коэффициент затрат времени обработки детали j-го вида на оборудовании i-й группы по s-му производственному способу в станко-часах за тысячу штук.

В рассматриваемых линейных моделях загрузки оборудования такие факторы, как размер партий деталей, очередность их обработки на различных станках, календарные графики загрузки оборудования и т.п., не оптимизируются. Они принимаются заданными для каждого из производственных способов.

Обозначим полезный фонд времени в станко-часах по i-й группе оборудования через Ai. Наряду с показателем затрат станочного времени по каждому производственному способу задается стоимостной показатель эффективности его применения psij (в наиболее общем случае прибыль от реализации единицы продукции j-го вида, произведенной по способу s.)

В качестве неизвестных принимается xsj – количество деталей j-го вида, которое следует произвести по способу s.

В принятых обозначениях модель оптимальной загрузки мощностей, обеспечивающая максимум прибыли от реализации продукции, строится следующим образом.

Система ограничений


  1. Потребность в фонде времени работы оборудования не должна превышать действительного, располагаемого фонда рабочего времени:

  2. Ограничения неотрицательности переменных


Функция цели: максимизировать совокупную прибыль от реализации продукции, произведенной на данном парке оборудования

 

Задание к работе

Имеются три группы оборудования: I группа – фрезерные станки, II группа – токарные станки, III группа – сварочные аппараты, на которых возможен выпуск трех видов изделий. Нормы затрат станочного времени на обработку изделий, объемы выделенного фонда времени и прибыль на единицу продукции приведены в таблице вариантов заданий.

Для предложенных вариантов:

1) составьте экономико-математическую модель задачи оптимального использования производственных мощностей и, воспользовавшись пакетом “MATHCAD”, найдите оптимальный план загрузки мощностей, обеспечивающий максимум прибыли;

2) воспользовавшись материалами приложения, сформулируйте двойственную задачу и найдите ее решение. Используя двойственные оценки, установите ценность ресурсов. Проверьте выполнения равенства:

;

3) найдите интервалы устойчивости двойственных оценок при изменении фондов времени оборудования. Установите влияние фондов времени каждого вида оборудования на величины двойственных оценок. Изменения фондов времени при этом производите внутри и вне найденных интервалов устойчивости. Пользуясь теоремой об оценках, определите величину изменений критерия при изменении фондов времени и сравните их с результатами оптимальных расчетов на ЭВМ;

4) найдите интервалы устойчивости двойственных оценок при изменении коэффициентов целевой функции;

5) рассмотрите целесообразность включения в план производства нового вида изделия.

Варианты задания

Вариант 1

 


Продукция

 

 

Группы

оборудования

 

Единица

измерения

Затраты станочн. врем. на обраб. ед. изд.

Полезн.фонд времени

Новый вид изделия

I вид изд.

II вид изд.

III вид изд.

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

Фрезерное

Токарное

Сварочное

Прибыль

Выпуск продукции

ст.-час

ст.-час

маш.-час

тыс.руб.

тыс.шт.

2

3

0

11

x11

2

1

1

7

x12

1

2

3

5

x13

3

1

2

9

x21

0

2

3

6

x22

4

0

1

7

x23

3

5

1

18

x31

3

6

0

15

x32

20

34

48

5

7

9

30

Вариант 2

 


Продукция

 

 

Группы

оборудования

 

Единица

измерения

Затраты станочн. врем. на обраб. ед. изд.

Полезн.фонд времени

Новый вид изделия

I вид изд.

II вид изд.

III вид изд.

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

Фрезерное

Токарное

Сварочное

Прибыль

Выпуск продукции

ст.-час

ст.-час

маш.-час

тыс.руб.

тыс.шт.

2

2

3

5

x11

1

3

2

7

x12

2

2

4

10

x13

4

3

1

9

x21

0

2

5

6

x22

4

2

3

7

x23

4

5

4

8

x31

1

8

2

15

x32

40

20

28

4

1

3

10

Вариант 3

 


Продукция

 

 

Группы

оборудования

 

Единица

измерения

Затраты станочн. врем. на обраб. ед. изд.

Полезн.фонд времени

Новый вид изделия

I вид изд.

II вид изд.

III вид изд.

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

Фрезерное

Токарное

Сварочное

Прибыль

Выпуск продукции

ст.-час

ст.-час

маш.-час

тыс.руб.

тыс.шт.

6

6

3

8

x11

1

3

3

5

x12

2

3

4

6

x13

9

2

10

9

x21

0

4

5

5

x22

5

3

5

5

x23

4

5

4

7

x31

7

3

8

9

x32

40

30

50

4

4

3

10

Вариант 4

 


Продукция

 

 

Группы

оборудования

 

Единица

измерения

Затраты станочн. врем. на обраб. ед. изд.

Полезн.фонд времени

Новый вид изделия

I вид изд.

II вид изд.

III вид изд.

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

III тех-способ

I техспособ

II тех-способ

Фрезерное

Токарное

Сварочное

Прибыль

Выпуск продукции

ст.-час

ст.-час

маш.-час

тыс.руб.

тыс.шт.

7

5

8

8

x11

6

5

3

4

x12

10

5

5

7

x13

6

4

8

8

x21

0

6

6

9

x22

7

3

5

5

x23

4

5

4

6

x31

7

3

8

9

x32

50

70

90

7

4

3

10

 

Вариант 5

 


Продукция

 

 

Группы

оборудования

 

Единица

измерения

Затраты станочн. врем. на обраб. ед. изд.

Полезн.фонд времени

Новый вид изделия

I вид изд.

II вид изд.

III вид изд.

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

Фрезерное

Токарное

Сварочное

Прибыль

Выпуск продукции

ст.-час

ст.-час

маш.-час

тыс.руб.

тыс.шт.

6

3

4

8

x11

6

4

3

4

x12

4

5

3

7

x13

5

7

3

8

x21

2

4

5

4

x22

7

4

5

5

x23

3

5

4

5

x31

6

3

2

8

x32

50

70

90

5

4

3

10

 

Вариант 6

 


Продукция

 

 

Группы

оборудования

 

Единица

измерения

Затраты станочн. врем. на обраб. ед. изд.

Полезн.фонд времени

Новый вид изделия

I вид изд.

II вид изд.

III вид изд.

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

III техспособ

I техспособ

II техспособ

Фрезерное

Токарное

Сварочное

Прибыль

Выпуск продукции

ст.-час

ст.-час

маш.-час

тыс.руб.

тыс.шт.

5

3

4

6

x11

6

10

3

8

x12

6

5

3

7

x13

5

7

3

6

x21

5

10

5

8

x22

8

4

5

8

x23

4

5

4

5

x31

8

9

2

10

x32

40

60

50

5

4

3

10

 

 

Приложение

При решении и анализе задач линейного программирования важная роль принадлежит оценкам оптимального плана или двойственным оценкам. В [ 2 ] показано, что с каждой задачей линейного программирования, записанной следующим образом:

 

тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной:

 

Переменные двойственной задачи yi называют объективно обусловленными или двойственными оценками.

Основные утверждения о взаимодвойственных задачах содержатся в трех следующих теоремах.

Первая теорема двойственности. Для взаимодвойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев.

  1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают:
  2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.
  3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.
  4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости)

Пусть - допустимое решение прямой задачи, а - допустимое решение двойственной задачи. Для того чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взамидвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

 

Данные условия позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Теорема об оценках. Значения переменных yi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi системы ограничений – неравенств прямой задачи на величину

 

После того как оптимальное решение получено, может быть выявлена чувствительность к определенным изменениям исходной модели. В связи с этим возможно установить следующее.

  1. Увеличение какого из ресурсов наиболее выгодно (ценность ресурсов).
  2. На сколько можно увеличить запас сырья для улучшения полученного значения целевой функции (чувствительность решения к изменению запасов сырья).
  3. Каков диапазон изменения того или иного изменения коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения (чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции).
  4. Целесообразность включения в план новых изделий.

 

Ценность ресурсов. Из второй теоремы двойственности следует:

Первые два условия можно интерпретировать так: если оценка yi единицы ресурса i-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью; если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю. Таким образом, дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане, имеет положительную оценку (yi>0), не полностью используемый ресурс, для которого , имеет нулевую оценку (yi=0) и не является дефицитным. Чем выше величина оценки yi, тем острее дефицитность i-го ресурса.

 

Чувствительность решения к изменению запасов сырья. Из теоремы об оценках изменение целевой функции, связанное с изменением величины bi , определяется величиной yi . Однако точной мерой влияния на функционал оценки yi являются лишь при малом приращении ограничения до тех пор, пока значения переменных в оптимальном плане двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной задачи линейного программирования, в которых бы оптимальный план двойственной задачи не менялся.

Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор переменных, входящих в базис оптимального плана исходной задачи, в то время как значения этих переменных в оптимальном плане могут меняться.

Оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменения каждого из ограничений получаются на основе правил.

  1. Пределы уменьшения (нижняя граница) определяются по тем xk (k=1,2,..,m), для которых соответствующие dki>0

 

Здесь dki – элементы матрицы D=A*-1, где A* - подматрица матрицы A ограничений задачи линейного программирования, приведенной к канонической форме:

 

соответствующая подвектору X, включающему  базисные переменные.

2. Пределы увеличения (верхняя граница) определяется по тем xk, для которых dki<0:



 
система управления оборудования