3414 ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИИ ФРАУНГОФЕРА ОТ ЩЕЛИ

Цель работы: ознакомиться с основными понятиями теории дифракции и способами её наблюдения.

 

Элементы теории и метод эксперимента

Принцип Гюйгенса-Френеля

 

Метод, предложенный Френелем для решения задач дифракции, базируется на учёте интерференции вторичных волн. Каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических волн, суперпозиция которых определяет интенсивность света в заданной точке.

Наиболее наглядно задача дифракции решается разбиением волновой поверхности на кольцевые участки (зоны Френеля). Расстояние от соседних зон до точки наблюдения P отличается на половину длины волны l/2. При соблюдении этого условия колебания, приходящие в точку Р, находятся в противофазе и гасят друг друга. Элементарный расчёт показывает, что при разбиении сферического волнового фронта на зоны Френеля, площади всех зон с точностью до (l/2)2 одинаковы [1]. Амплитуда колебаний А в точке Р равна сумме колебаний от всех зон Френеля А=А1 - А2 + А3 - А4 +…, т.е. образует знакопеременный ряд, члены которого монотонно убывают при увеличении номера зоны. Изменение знака членов ряда обусловлено изменением фазы колебаний между чётными и нечётными зонами на величину p.Уменьшение амплитуды Аm с ростом номера зоны m, согласно предположению Френеля, связано с уменьшением вклада колебаний поля световой волны в точке наблюдения Р, приходящих от зон, которые дальше отстоят от центральной зоны. При полностью открытом волновом фронте выражение для амплитуды А можно представить в виде

А=А1/2+(А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+А5/2)+…

Сумма членов в скобках приблизительно равна нулю, поэтому А=А1/2. Если круглое отверстие открывает m зон Френеля, то А=А1/2-Аm/2 при чётном m и А=А1/2+Аm/2 - при нечётном. Радиус m-й зоны определяется формулой [1]

rm=,

где a1 – расстояние от точечного источника до центральной зоны, a2 – расстояние от центральной зоны до точки Р.

Условием наблюдения дифракции является сравнимость размеров препятствия на пути световой волны с размерами первой зоны Френеля. Если в пределах препятствия укладывается относительно небольшое число зон Френеля, то это является необходимым и достаточным условием получения дифракционной картины.

Различают две области наблюдения дифракции: область дифракции Френеля и область дифракции Фраунгофера. Дифракция Френеля наблюдается в ближней зоне, то есть при таком расстоянии от а2 препятствия до точки наблюдения Р, когда характерный размер препятствия r³r1=.

Если фронт падающей на препятствие световой волны является плоским, что соответствует a1®¥, то область дифракции Фраунгофера начинается при

a2³.

Выполнение этого условия означает, что при удалении экрана, на котором наблюдается дифракция, на расстояние, большее a2, в характерном размере препятствия r укладывается меньше одной зоны Френеля. Дифракционная картина при этом образуется в результате суперпозиции практически плоских (квазиплоских) волн, приходящих в область наблюдения под различными углами.

 

Рассмотрим дифракцию плоской волны на узкой и бесконечно длинной щели, образованной двумя непрозрачными экранами, расстояние между которыми равно b (рис. 1).

 

Рис. 1

Согласно условиям дифракции Фраунгофера дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от щели. Поэтому точка наблюдения Р настолько удалена от щели, что лучи, идущие от неё под углом дифракции j и сходящиеся в точке наблюдения Р, практически могут считаться параллельными. Математически задача дифракции в этом случае решается как дифракция плоских волн. Суперпозиция этих волн, распространяющихся под различными углами j, образует на экране дифракционную картину. Дифракция плоских волн может наблюдаться и на небольшом расстоянии от щели, если после щели поместить собирающую линзу, в фокальной плоскости которой находится экран (рис. 1). Излучение точечного источника S превращается линзой Л1 (роль этой линзы на рис. 4 выполняет коллиматор 3) в плоскую волну, которая проходит через щель Щ. Линза Л2 собирает в различных участках своей фокальной плоскости все лучи, прошедшие через щель, в том числе и отклонившиеся на угол j от первоначального направления.

Найдём распределение интенсивности света в дифракционной картине на экране Э. Выделим элементарную полоску шириной dx, расположенную на расстоянии x от края щели (см. рис. 2), т.е. от точки 0. Каждая полоска в плоскости щели создаёт поле световой волны , где с – постоянная величина, w – частота.

Если амплитуду световой волны, падающей на щель обозначить Е0 то очевидно, что . Следовательно,

.                                              (1)

Участок щели dx посылает в направлении, определяемом углом j, плоскую волну с запаздыванием по фазе на  относительно левого края щели, т.е.

,                                     (2)

где k=2p/l – волновое число.

Вследствие когерентности возмущений от всех полосок нахождение результирующей амплитуды в произвольной точке Р сводится к решению задачи интерференции, т.е. сложению колебаний от всех полосок с учётом амплитуды и фазы. Отметим, что линза Л (рис. 2) дополнительной разности фаз не вносит. Проинтегрируем выражение (2) по всей ширине щели от 0 до b:

.        (3)

 

 

Рис. 2

 

Амплитуда результирующей волны в точке Р определяется членами, не зависящими от времени в выражении (3), т.е.

(4)

Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы имеет вид:

.                                   (5)

 

Рис. 3

 

Из выражения (5) следует, что при

,                                    (6)

где m=1, 2, 3, …, освещённость равна нулю. Условие

(7)

определяет угловое положение минимумов при дифракции Фраунгофера на щели.

График функции вида , где , показан на рис. 3. Как следует из формулы (5), максимальные значения интенсивности света быстро убывают с увеличением угла дифракции j. Расчёт по формуле (5) показывает, что соотношение максимумов интенсивности разных порядков имеет вид:

.

Следовательно, основной световой поток сконцентрирован в пределах центрального дифракционного максимума, определяемого значениями

.                                                 (8)

При малых углах дифракции координата xm, определяющая положение на экране минимума интенсивности света (тёмной полосы) m порядка, может быть найдена из формулы (7), при , т.е.

.                                                (9)

Ширина центрального дифракционного максимума, как следует из (9), равна

.                                             (10)