3414_2 ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Введение

Созданный на кафедре АиММ пакет TSMR содержит программы, позволяющие проводить анализ и прогнозирование как обычных, так и сезонных временных рядов.

TS_MD −  позволяет осуществить ввод временного ряда как вручную, так и автоматически по заданным параметрам его типовой модели, просматривать  графическое изображение и производить наиболее часто встречающиеся преобразования введенного  временного ряда. Введенный временной ряд может быть записан в файл tms ..dat с буквенным и цифровым обозначением и вызван из этого файла в этой же или в другой программе.

TS_KRF – осуществляет получение  автокорреляционных и частных автокорреляционных функций для введенного временного ряда, а также для его первых и вторых разностей. Предусмотрены табличное и графическое представления автокорреляционных функций. Для сезонного временного ряда типа скользящего среднего по этой же программе осуществляется  идентификация и грубая оценка параметров.
TS_IDN −  осуществляет идентификацию и грубую оценку параметров введенного временного ряда. Идентификация производится путем сравнения автокорреляционных функций анализируемого временного ряда с автокорреляционными функциями типовых временных рядов, выбора наиболее подходящего вида типового временного  ряда и установления грубых оценок его параметров.

TS_OCP – осуществляет точную оценку параметров идентифицированного обычного временного ряда, а также сезонного ряда типа скользящего среднего.  Оценка осуществляется по процедуре OPTM , реализующей рекуррентный метод наименьших квадратов. Если число оцениваемых параметров не превышает двух, то может быть использована процедура SMKW , минимизирующая сумму квадратов импульсного сигнала, формирующего временной ряд без применения итерационной процедуры.

RS_OCP – осуществляет определение вида сезонного временного ряда и оценку его параметров без использования процедур TS_KRF и TS_IDN. Исходная модель задается в общем виде как модель авторегрессии  скользящего среднего. Предусмотрена возможность исключать из рассмотрения отдельные параметры. Оптимальное решение находится путем постепенного включения в рассмотрение новых параметров и оптимизации решения на каждом новом шаге.

TS_PRG − осуществляет прогноз обычного временного ряда на основе его обобщенной модели, а также прогноз сезонного ряда, оценки параметров которого получены по программе RS_OCP .

TS_PRG0 − осуществляет прогноз обычного временного ряда как линейную комбинацию прошлых наблюдений и прогноз сезонного  ряда, оценки параметров которого получены по программе TS_OCP .

В методических указаниях на примерах нескольких временных рядов, взятых из литературных источников, разъясняется общая методика работы с перечисленными программами.

 

1. Обычные временные ряды, построенные на основе

типовых моделей

 

Временной ряд представляет собой последовательность наблюдений за каким-либо процессом или явлением, проведенным в дискретные, обычно равноотстоящие друг от друга, моменты времени. Обозначим через t=1,2,... дискретное время, т.е. последовательность моментов времени, интервал между которыми принят за единицу.

Пусть zt − значение наблю­даемой величины в момент t. Тогда последовательность

z1,z2,...,zn

 

представляет собой  временной  ряд длиной n.  Величины zt, входящие во временной ряд,  являются случайными величинами, коррелированными между собой с неизвестными законами распределения. Задача анализа временно­го ряда состоит в выяснении закономерностей, которым подчиняются эле­менты временного ряда, и в построении математической модели, позволяющей объяснить свойства временного ряда и определить элементы ряда, вы­ходящие за пределы заданного временного интервала, т.е. осуществить прогнозирование временного ряда.

Широкое применение нашли три вида моделей временных рядов: авторегрессии АР(p), скользящего среднего СС(q)  и объединенная модель авторегрессии  скользящего среднего АРСС(p,q), где p и q - число параметров φ или θ, описывающих модель. Мы ограничимся случаем, когда число параметров не превосходит двух.

При p=2 модель авторегрессии АР(2) имеет вид:

 

( 1 )

 

где  - гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Модель скользящего среднего CC(2) при q=2 имеет вид:

 

( 2 )

 

Объединенная модель АРСС(1,1) при p=1 и q=1 имеет вид:

( 3 )

Если временной ряд не является центрированным, то в любое из этих уравнений будет входить слагаемое mzматематическое ожидание, т.е. смещение относительно нулевого уровня.

Для компактной записи моделей временных рядов используется оператор сдвига назад B, определяемый как   и  В дальнейшем будем также использовать разностный оператор со  сдвигом назад , который можно выразить через B как

 

( 4 )

 

Компактная запись моделей (1), (2) и (3) будет иметь вид:

 

(1a)

 

(2a)

 

 

( 3a )

Используемые далее методы оценки параметров и прогнозирования применимы только для стационарных временных рядов. Нестационарный временной ряд  во многих случаях удается превратить в стационарный путем взятия первых  или вторых  разностей исходного ряда.

Анализируемый временной ряд должен быть предварительно введен вручную по программе TS_MD и записан в файл tms ...dat с буквенным и цифровым обозначениями. В дальнейшем он может быть вызван из файла в любой из используемых программ.

Анализ и прогнозирование обычных временных рядов производится по программам TS_KRF, TS_IDN, TS_OCP, TS_PRG.  Работу с этими программами рассмотрим на примере временного ряда С, взятогo  из [1, c.392]  и записанного в файл tms c0.dat. График временного ряда приведен на рис.1.

По программе TS_KRF определяются автокорреляционные и частные автокорреляционные функции как для самого временного ряда zi,, так и для его первых и вторых  разностей. Предельное смещение принимаем равным gmf=15. Соответствующие корреляционные ro(d) и частные автокорреляционные fro(d) функции, где d=0, 1, 2 – порядок разностей временного ряда, выводятся в виде таблицы. Более наглядное представление характера автокорреляционных функций дает их графическое изображение, приведенное на рис. 2. Автокорреляционные функции записываем в файл krf c0.dat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. График временного ряда из файла tms c0.dat

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Автокорреляционные и частные автокорреляционные функции

из файла krf c0.dat

 

Признаком стационарности временного ряда является быстрое затухание автокорреляционных функций. Этому условию не удовлетворяет  временной ряд с автокорреляционной функцией ro(0). Поэтому идентификацию и грубую оценку  параметров временного ряда проводим по программе TS_IDN.

Из файла krf c0.dat вызываем таблицу автокорреляционных функций. Задаем максимальное смещение gmf =15, принимаем d=1 и начинаем поиск

модели временного ряда, имеющего сходные с полученными автокорреляционные функции. Опробуем разные модели, варьируя их параметры. Знание особенностей автокорреляционных функций для различных моделей временных рядов существенно облегчает процесс поиска. После опробования нескольких вариантов приходим к выводу, что графики r(1) и fr(1) для модели АР(1) при =0.65 близки к полученным ro(1) и fro(1). Соответствующие графики приведены на рис. 3. Но это лишь грубая оценка параметра , которая требует дальнейшего уточнения.  Аналогичную операцию производим при d=2. Приемлемым вариантом оказывается модель СС(2) с грубыми оценками параметров =0.15, =0.15.

Точные оценки параметров идентифицированной модели находятся по программе TS_OCP. Из файла tms c0.dat вызываем анализируемый временной ряд. Оптимальные значения параметров модели получаем по процедуре OPTM – итерационная процедура оптимизации по методу наименьших квадратов. Полагаем d=1 и исследуем  модель АР(1) с

 

 

 

Рис. 3. Сравнение автокорреляционных и частных автокорреляционных функций типового и исследуемого временных рядов

 

грубой оценкой параметра . Задаваясь приращением параметра  за одну итерацию df=0.0001, после нескольких итерации получаем точные параметры модели временного ряда:

 

Критерием окончания итерационной процедуры служат  нулевые приращения оцениваемых параметров на очередной итерации.

Аналогичную процедуру производим и со второй моделью. Полагаем  d=2 и исследуем модель СС(2) с грубыми оценками параметров  По завершении итерационной процедуры точные оценки получаются равными:

 

 

 

Теперь в нашем распоряжении имеются две модели временного ряда, которые можно использовать при решении задачи прогнозирования будущих значений. Окончательный выбор модели можно сделать, оценив качество прогноза.