3440 РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ

Введение

При проектировании различных конструкций (механизмов, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Расчетами на прочность определяются форма и размеры поперечных сечений элементов конструкций, зависящих от выбранного материала, величин внешних нагрузок и условий работы как отдельных элементов, так и конструкции в целом. При этом внутренние напряжения, возникающие в элементах конструкции, не должны превышать некоторых допустимых значений.

Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования необходимы расчеты на жесткость конструкции и устойчивость ее отдельных элементов.

Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкции, при которых перемещения (деформации) ее отдельных частей или точек не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Деформации многих конструкций при действии на них нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб стального стержня – при некотором значении сжимающей  силы происходит искривление прямолинейного стержня, практически равноценное разрушению. Такой вид деформации называется потерей устойчивости.

Расчет конструкции, имеющей целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость.

При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы конструкции с ее экономичностью, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материалов и оптимальной стоимости конструкции.

 

 

1.     Растяжение и сжатие

 

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях элемента конструкции прямолинейной формы (бруса, стержня) возникают только продольные силы N.

Растяжению (сжатию) подвергаются элементы конструкции, если все внешние силы F или их равнодействующие R, приложенные к ним, располагаются вдоль осей этих элементов (рис.1,а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади сечения.

Исследованиями было установлено, что в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные по сечениям нормальные напряжения s, равные отношению продольной силы N к площади А поперечного сечения (рис.1,б):

s=N/A.                                                     (1)

Величину продольной силы N в любом поперечном сечении бруса можно определить методом сечений. Для этого на каждом участке бруса проводится сечение (границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы F или их равнодействующие R, а также концевые сечения бруса), отбрасывается левая (или правая) относительно сечения часть бруса, действие отбрасываемой части бруса на остаюшуюся заменяется продольной силой N и рассматривается остающаяся часть бруса в равновесии (рис.1,в):

ΣFkx=0, -N1-F1=0, отсюда N1=-F1;

ΣFkx=0, –N2+R-F1=0, отсюда N2=R-F1;

где R=2F2 – равнодействующая двух сил F2 .

Рекомендуется предварительно направлять продольную силу N в сторону отбрасываемой части бруса, тем самым считая ее растягивающей на рассматриваемом участке. Если величина силы N окажется со знаком «минус», это означает, что продольная сила - сжимающая и направлена к сечению. Растягивающие сила N и напряжение s считаются положительными, а сжимающие - отрицательными.

Закон Р.Гука. Допускаемое напряжение

Для решения практических задач необходимо знать характеристики  прочностных свойств материалов. Эти характеристики определяются методом испытания образцов стандартной формы (рис.2,а),  выполняемых из испытуемых материалов. Основным и наиболее распространенным методом является испытание на растяжение и сжатие (см. §2.4 [1], §13 и §14[2]), в результате которого вычерчиваются диаграммы растяжения и сжатия, т.е. зависимости деформаций образцов (удлинений или укорочений) от приложенных к ним сил.

Диаграмма растяжения хорошо деформируемых (пластичных) материалов, к которым относятся мало- и среднеуглеродистые стали, большинство цветных металлов и сплавов, имеет вид, изображенный на рис. 2,б.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. Диаграмма растяжения:  а- испытываемый образец; б- пластичные материалы;  в- малопластичные материалы

 

 

 

На участке ОА наблюдается пропорциональность между удлинением Δl испытуемого образца и нагружающей его силой F. Наибольшей по величине силе Fpr на участке ОА соответствует механическая характеристика материала spr, называемая пределом пропорциональности:

spr=Fpr/A, (2)

где А- площадь поперечного сечения образца.

На этом участке справедлив закон Гука:

Δl=Nl/(EA), (3)

где N – продольная сила; l – длина образца; E  – модуль упругости материала при растяжении и сжатии (модуль Юнга) (см.  приложение 1[1]).

Горизонтальный участок диаграммы в районе точки В (тем больший, чем более пластичный материал) соответствует явлению текучести материала, при котором удлинение образца некоторое время происходит без увеличения нагрузки. При этом в материале возникает напряжение sу, называемое пределом текучести:

sу=Fу/A. (4)

Наибольшему значению Fu силы F, которую выдержал образец, соответствует напряжение su, называемое пределом прочности материала:

su=Fu/A. (5)

Участок СD диаграммы растяжения называется областью разрушения. При значении Fd силы F  (d- от английского destruction –разрушение) образец разрывается.

При испытании материалов было замечено, что при нагружении образцов до некоторого значения  силы Fe, несколько большей силы Fpr, но меньшей силы Fy, в образце возникают только упругие деформации, которые при снятии с образца нагрузки полностью исчезают. Наибольшее напряжение sе, при котором в испытуемом образце возникают только упругие деформации, называется пределом упругости материала:

sе=Fе/A. (6)

Диаграмма растяжения образцов из малопластичных материалов изображена на рис.2, в. По диаграмме видно, что такие материалы не обладают явлением текучести и у них явно выраженной характеристикой является лишь предел прочности su (соответствует точке С диаграммы). Участок ОА диаграммы слегка отличается от  прямолинейного.

Аналогично проводятся испытания образцов из различных материалов на сжатие.

Было выявлено, что пластичные материалы одинаково хорошо воспринимают и растягивающие, и сжимающие нагрузки. Пределы текучести при растяжении и сжатии практически одинаковы. Такие материалы при сжатии не имеют предела прочности, т.е. при увеличении нагрузки образцы сплющиваются, не разрушаясь.

Хрупкие материалы при растяжении и сжатии ведут себя по-разному – они хорошо воспринимают сжимающие нагрузки и плохо работают на растяжение. Они имеют различные значения предела прочности при растяжении (sut)  и при сжатии (suc), причем sut <suc . Поэтому при расчетах на прочность элементов конструкций из малопластичных и хрупких материалов следует учитывать вид деформации.

Рассмотренные механические характеристики материалов приводятся в справочниках и учебных пособиях, например в [3]. Для некоторых марок сталей механические характеристики приведены в таблице 1.

Нагрузки на элементы конструкций должны быть такими, чтобы в них возникали только упругие деформации. Для этого необходимо, чтобы в поперечных сечениях элементов возникали напряжения, не превосходящие предела упругости материала этих элементов:

s=N/A<se. (7)

Для обеспечения этого условия при расчетах на прочность элементов конструкции, выполненных из пластичных материалов, за основу принимается предел текучести sу, несколько больший предела упругости sе. Тогда наибольшее допускаемое напряжение sadm (от английского admissible- допустимый) будет равно:

sadm=sy/ny , (8)

где ny – коэффициент запаса прочности материала по отношению к пределу текучести.

Для малопластичных и хрупких материалов, не обладающих явлением текучести, за основу принимается предел прочности su и допускаемое напряжение определяется по формулам:

а) при растяжении                             sadm=sut/nu , (9)

б) при сжатии                                    sadm=suc/nu , (10)

где nu – коэффициент запаса прочности материала по отношению к пределу прочности.

.

 

Таблица 1

Механические характеристики материалов

Марка стали

ГОСТ

Состояние или термообработка

Толщина или диаметр, мм

Твердость HRC(HB)

Предел прочности su, МПа

Предел текучести sy, МПа

поверхности

сердцевины

Ст3

380-94

Горячекатаная

-

-

-

370…470

200…240

10

1050-88

Горячекатаная

-

(140)

-

320

206

20

1050-88

Нормализация

< 100

(123…167)

-

440

>220

45

1050-88

Нормализация

любые

(179...207)

(179...207)

600

320

45

1050-88

Улучшение

<100

(235…262)

(235…262)

780

540

20Х

4543-71

Нормализация

<100

(179)

-

480

220

20Х

4543-71

Цементация

<60

56…60

-

650

400

40Х

4543-71

Нормализация

<100

(174…217)

-

600

350

40Х

4543-71

Улучшение

<200

(235…262)

(235…262)

790

640

40ХН

4543-71

Улучшение

<200

(235…262)

(235…262)

800

630

12ХН3А

4543-71

Цементация

<100

56…62

(255)

850

-

Примечание.       1. В обозначениях марок сталей: Х - хром (~1%),

Н-никель, А - сталь с гарантированными механическими свойствами.

2. Модули упругости Е и коэффициенты Пуассона μ:

а) для углеродистых сталей Е=(2,0…2,1) -105МПа, μ=0,24…0,28;

б) для легированных сталей Е=(2,1…2,2)-105МПа, μ=0,25…0,30

.

 

Коэффициенты запаса прочности nу и nu принимаются в зависимости от условий работы конструкции и ее отдельных элементов

Ориентировочные значения коэффициентов запаса прочности приведены в табл. 2.

Расчеты на прочность элементов конструкций, работающих на растяжение или сжатие, проводятся по условию прочности, имеющему вид:

s=N/A<=sadm . (11)

Таблица 2

Коэффициенты запаса прочности

Характер нагрузки

Вид и состояние материала

ny

nu

Статическая нагрузка

Пластичный (сталь)

1,4…1,8

2,4…2,6

хрупкий

2,5…3,0

3,0…9,0

Ударная нагрузка

Пластичный (сталь)

-

2,8…5,0

Знакопеременная нагрузка (растяжение – сжатие одинаковой величины)

Пластичный (сталь)

-

5,0…15,0

 

Примечание. Подробно о расчетах на прочность элементов конструкций при ударных и знакопеременных нагрузках см. в главах 14 и 15 [1].

Статически неопределимые системы

 

Как было сказано ранее, продольные усилия N в элементах конструкций можно определить методом сечений, составляя для выделенных частей конструкций уравнения равновесия. Из теоретической механики известно, что для каждой системы сил, обеспечивающих равновесие какого либо элемента конструкции или ее части, в зависимости от ее вида можно составить вполне определенное количество независимых уравнений равновесия.

 

 

Например, для конструкции, изображенной на рис.3, равновесие вырезанных узлов А обеспечивается силами, образующими плоские системы

сходящихся в точке А сил, для которых можно составить лишь по два независимых уравнения равновесия.

Рис.3. Статически определимая (а) и статически неопределимая (б) конструкции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для схемы на рис.3,а:

Σ Fkx=0; -N1-N2 cos α=0;                                                                                 (a)

Σ Fky=0; -N2 sin α - F=0.

По схеме на рис.3,б:

Σ Fkx=0; -N1-N2 cos α - N3 cos β =0;

(б)

Σ Fky=0; -N2 sin α - N3 sin β - F=0.