3486 ТРАНСФОРМАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: изучение методов оценки характеристик трансформированных погрешностей при обработке результатов прямых измерений.

 

Введение

В каналах сбора и обработки измерительной информации современных информационно-измерительных систем определяются различные характеристики объекта измерения. В зависимости от вида решаемой задачи и природы объекта измерения выходными данными систем могут быть:

-    параметры вероятностной модели, получаемые в процессе статистической обработки результатов многократных измерений;

-    результаты аппроксимации статических характеристик в виде степенных полиномов или других функций;

-    параметры эквивалентных схем или структурно-функциональных моделей;

-    временные модели, характеризующие динамику изменения физических переменных и использующиеся для фильтрации или прогнозирования;

-    результаты совокупных или косвенных измерений.

В процессе получения результата значительная часть операций, за исключением первичного преобразования, реализуется в числовой форме. Поступающие на вход процессора операнды содержат числовые эквиваленты истинного значения физической величины или константы и абсолютной погрешности. Обе составляющие подвергаются функциональному преобразованию, поэтому на выходе появляется так называемая наследственная погрешность как результат трансформации погрешности исходных данных.

Ограниченность размера разрядной сетки приводит к возникновению погрешности усечения машинного слова, которая  по определению является инструментальной погрешностью. Погрешность усечения есть результат сокращения длины информационного слова при выполнении операций умножения, деления, суммирования с масштабированием. Погрешность усечения зависит от способа представления чисел и масштаба машинной переменной.

 

1. Инструментальные погрешности

Инструментальные погрешности являются первичными, так как возникают непосредственно в вычислительной среде. В качестве характеристик инструментальных погрешностей обычно используют математическое ожидание и дисперсию. При оценке характеристик первичных ошибок, представленных в числовой форме, предполагается статистическая природа переменных. Считается, что переменные случайны и заданы вероятностями появления единицы в каждом разряде мантиссы числа и вероятностями появления единицы в произведении двух любых разрядов.

 

1.1. Погрешность усечения

Простое усечение заключается в отбрасывании m разрядов машинного операнда и имеет место при выполнении операций умножения, деления и правого сдвига. Если в случайном машинном операнде xn+m=0, b1 b2 … bn bn+1 … bn+m отбрасываются m младших разрядов, получается новый операнд xn=0, b1 b2 … bn, отличающийся от исходного на величину случайной погрешности

.

Математическое ожидание погрешности определяется по формуле

.                          (1)

В каждом разряде bi может принимать значения 0 или 1. Поэтому математическое ожидание M[bi] равно вероятности появления единицы в соответствующем разряде P1(bi), которая при равновероятном законе распределения равна 0,5. Для любого другого закона распределения

.                                   (2)

Для равномерного закона распределения bi математическое ожидание погрешности отбрасывания равно

.                            (3)

Дисперсия погрешности (2) вычисляется по формуле

(4)

где P1(bibj) – вероятность появления единицы одновременно в двух разрядах мантиссы числа Dxm.

Учитывая, что для равномерного закона распределения P1(bi)=0,5, P1(bibj)=0,25, значение дисперсии (4) равно

.                             (5)

Приближенные предельные значения характеристик случайной погрешности усечения (3), (5) находятся из предположения, что m>>1.

 

1.2. Погрешность округления

Под округлением понимают отбрасывание m разрядов операнда после предварительного добавления единицы в старший из отбрасываемых разрядов. Математически округленное число записывается следующим образом:

.

Если в исходном числе bn+1=1, то происходит перенос единицы в n-й разряд, а если bn+1=0, то переноса нет.

Погрешность округления находится как разность

 

Математическое ожидание погрешности округления вычисляется по формуле

(6)

Для равномерного закона распределения случайной величины bi формула (6) приобретает вид

.                    (7)

Сравнивая величины погрешностей (3) и (7), можно отметить, что математическое ожидание погрешности округления в 2m раз меньше математического ожидания погрешности отбрасывания.

Рассчитав дисперсию погрешности округления по формуле (4), получим

.                             (8)

1.3. Инструментальные погрешности выполнения
вычислительных операций

Инструментальные погрешности операций появляются из-за применения к промежуточным результатам процедур усечения. В качестве примера рассмотрим операцию умножения Z=x1x2, где x1=0,a1a2…an; x2=0,b1b2…bn. Операция умножения выполняется по рекуррентному соотношению

,

где Z0=0, i=1,2,…n.

Всего делается n шагов, на каждом из которых получаются промежуточные результаты:

 

 

 

.

Причиной погрешности является отбрасывание i младших разрядов при правом сдвиге числа x1 на i разрядов вследствие их выхода за разрядную сетку. Оценим максимальную величину ошибки при условии, что во всех разрядах единицы. На первом шаге отбрасывается один последний разряд числа x1 весом 2-(n+1), на втором – два разряда с весами 2-(n+1) и 2-(n+2). Нарастающую ошибку отбрасывания представим в виде таблицы:

Шаг 1 –

Шаг 2  –

Шаг 3  –

 

Шаг i  –

 

Шаг n  –

На произвольном i-м шаге за сетку выходят i разрядов с суммарным весом, определяющим текущую ошибку отбрасывания

.                          (9)

За n шагов итоговая ошибка находится как общая сумма отброшенных разрядов по всем шагам

,         (10)

где n>>1.



 
определений ибо они определяю само понятие. дне океана являются