3489 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы: изучение теории теплоемкости твердых тел; измерение удельной теплоемкости исследуемого образца.

Принадлежности: экспериментальная установка; микроамперметр, амперметр, вольтметр, секундомер, термометр.

определениЯ теплоемкости

Теплоемкостью C называется отношение подведенного к телу количества теплоты  к достигнутой при этом разности температур :

.                                                                 (1)

Однако такое определение теплоемкости имеет ограниченное применение, поскольку оно характеризует термодинамическую систему в целом и не раскрывает ее физической природы. Поэтому на практике более широко используются такие понятия, как удельная и молярная теплоемкости.

Под удельной теплоемкостью понимается отношение теплоемкости тела к массе m составляющего его вещества:

.                                                 (2)

Молярной теплоемкостью называется отношение теплоемкости тела к количеству образующего его вещества , выраженному в молях:

.                                                    (3)

Элементы теории

Дюлонг и Пти (1819) обратили внимание на то, что многие одноатомные твердые тела имеют примерно одинаковую молярную теплоемкость при постоянном объеме. Такая закономерность находится в хорошем согласии с классической теорией теплоемкости.

Действительно, в кристалле каждый атом совершает колебания около положения равновесия. Амплитуда этих колебаний имеет значение около 1Е и составляет, таким образом, незначительную долю от расстояния между соседними. Из-за сильной связи с соседями траектория движения атома имеет сложный анизотропный характер, поэтому его колебания можно разложить по трем осям, то есть приписать ему три степени свободы. В действительности число степеней свободы будет вдвое больше, поскольку полная энергия колеблющейся частицы складывается из равных по величине кинетической и потенциальной энергий. В соответствии с законом о равномерном распределении энергии по степеням свободы на каждую из них в среднем приходится энергия, равная kT/2, где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура тела. Таким образом, тело, состоящее из N атомов, обладает внутренней энергией:

,                                           (4)

где  – постоянная Авогадро.

Согласно первому закону термодинамики, тепловая энергия, подведенная к замкнутой системе, расходуется на повышение ее внутренней энергии и работу, производимую системой против внешних сил. Однако в случае твердого тела при его нагреве (или охлаждении) из-за незначительного изменения объема элементарная работа . Поэтому можно говорить лишь о молярной теплоемкости при постоянном объеме, поскольку вся подведенная к телу энергия полностью переходит в его внутреннюю энергию. В таком случае после замены U на Q в уравнении (4), его дифференцирования по T и последующей подстановки в соотношение (3) получаем:

.                                               (5)

Это соотношение, известное под названием закона Дюлонга и Пти, является хорошим приближением для большинства веществ при умеренных температурах.

Следует отметить, что более точная классическая теория в действительности несколько сложнее только что изложенной, но результат получается такой же. Согласно закону Дюлонга и Пти, молярная теплоемкость твердых тел не должна зависеть ни от температуры, ни от каких-либо характеристик кристаллов. Однако что касается реальной ситуации, то многочисленные опыты опровергают это утверждение и указывают на зависимость теплоемкости от температуры.

В основном расхождение классической теории теплоемкости твердых тел с опытом состоит в ограниченности закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы, особенно в области низких температур, когда начинают проявляться квантовые эффекты.

В первоначальной квантовой теории теплоемкости твердых тел Эйнштейна кристалл представлялся в виде системы, состоящей из N независимых квантовых осцилляторов. Как и в случае построения теории излучения абсолютного тела, средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы осциллятора (атома), принималась равной:

,                                                   (6)

где n – частота колебаний; h – постоянная Планка.

 

С учетом (6) уравнение (4) принимает вид:

.                                         (7)

После дифференцирования по Т и подстановки в (3) получаем:

.                                         (8)

При высоких температурах, когда  существенно меньше , можем записать . С учетом этого  и, следовательно, молярная теплоемкость принимает значение , что соответствует классическим представлениям о теплоемкости.

При низких температурах, когда  больше , из соотношения (8) следует, что молярная теплоемкость кристалла также стремится к нулю. Это качественно согласуется с опытом, однако количественно поведение теплоемкости твердых тел вблизи абсолютного нуля простейшая квантовая теория не описывает.

Причину расхождения с опытом в области низких температур можно усмотреть в том, что колебания атомов в теории Эйнштейна рассматриваются как независимые друг от друга. В то же время между атомами твердого тела существует настолько сильное взаимодействие, что все N частиц (атомов) тела образуют связанную систему, которая обладает 3N степенями свободы. Поэтому в более поздней квантовой теории теплоемкости твердых тел Дебая и Борна (1912) кристалл рассматривается как сплошное (непрерывное) упругое тело, участвующее в колебаниях с широким набором собственных частот. Этим частотам соответствуют стоячие волны с узлами на границах тела.

Простейшей (одномерной) аналогией таких колебаний являются колебания натянутой струны. Она может колебаться как целое, давая основной тон, которому соответствует наинизшая частота. Это – частота стоячей волны с двумя узлами на концах и одной пучностью посередине. Обертонам соответствуют стоячие волны в той же струне, разделенной узлами на две, три и т.д. части. Частота первого обертона вдвое больше частоты основного тона, частота второго – втрое и т.д.

Перенося эти представления на твердое тело, Дебай предложил рассматривать твердое тело как систему упругих стоячих волн, максимальная длина которых определяется размерами кристалла, а минимальная – должна быть соизмерима с периодом кристаллической решетки тела.

Дебай предположил также, что энергия колебаний сплошного твердого тела квантуется. По аналогии с фотонами квант энергии  упругих колебаний был назван фононом.

Фононы обладают нулевым спином и, следовательно, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. В таком случае энергия кристалла может рассматриваться как энергия фононного газа, заключенного в объеме . Число  фононов в таком объеме, обладающих частотами колебаний от  до , определяется выражением:

,                                                     (9)

где  – число квантовых состояний в данном кристалле:

.                                                           (10)

Здесь  – скорость звука, а коэффициент 3 учитывает то, что в кристалле одновременно распространяются продольные и поперечные волны с двумя взаимно перпендикулярными поляризациями.

Таким образом, внутренняя энергия кристалла

,              (11)

где  – максимальная частота колебаний фононов.

При вычислении теплоемкости кристалла вводится понятие характеристической температуры Дебая:

.                                                         (12)

Как видно, температура Дебая выражается через частоту  волны наименьшей длины. Следовательно, она является функцией скорости звука в твердом теле и межатомного расстояния. Поэтому для различных тел температура Дебая принимает разные значения.