3490 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Цель работы: изучение электростатического поля путем его моделирования с помощью электропроводящей бумаги и электродов различной формы; построение эквипотенциальных поверхностей, линий напряженности электростатического поля.

Приборы и принадлежности: планшет с электропроводящей бумагой и электродами; каркас с кареткой; зонд; лист миллиметровой бумаги (150х195 мм); вольтметр; источник постоянного напряжения.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА

Электрическое поле представляет собой особую разновидность материи, которая передает взаимодействие между заряженными телами. Стационарное электрическое поле создается постоянными зарядами (положительными и отрицательными). Силовой характеристикой электрического поля является его напряженность, под которой понимают вектор, совпадающий и по направлению, и по величине с силой, действующей на единичный положительный пробный заряд, помещенный в заданную точку поля. Пробным называется заряд, который вызывает пренебрежимо малые возмущения при помещении его в рассматриваемое электрическое поле. Таким образом:

(1)

Для поля точечного заряда, находящегося в диэлектрике, выражение для напряженности поля будет иметь вид:

(2)

где e - диэлектрическая проницаемость среды; e0 – диэлектрическая постоянная; q – величина заряда, создающего поле (источника поля); - радиус-вектор, проведенный от заряда в заданную точку пространства.

Одной из важнейших теорем электростатики является теорема Гаусса, которая для интегрального случая гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность (S) определяется суммарным зарядом (qS), заключенным внутри этой поверхности. Математически это записывается так:

,                                          (3)

где  - вектор, направленный по внешней нормали к поверхности, модуль которого численно равен площади элементарной площадки, через которую определяется поток.

В дифференциальной форме теорема Гаусса записывается в виде:

,                                             (4)

где  - оператор, который называется дивергенция, и в декартовой системе координат имеет вид .

Электрическое поле потенциально. Это определяется тем, что работа такого поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется только ее начальной и конечной точками. Потенциалом называется скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии (W) пробного точечного электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда (q)

.                                                   (5)

Таким образом, потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля.

Так как с помощью и вектора напряженности, и потенциала описываются свойства одного и того же электрического поля, то между ними должна быть универсальная связь, которая определяется как

.                                                        (6)

Выражение в правой части равенства (6) называется градиентом от потенциала. Градиент – векторный математический оператор, который в декартовой системе координат имеет вид  и при действии на скалярную функцию (в нашем случае – потенциал) показывает направление ее максимально быстрого возрастания. Согласно (6) напряженность поля направлена по максимальному убыванию потенциала.

Подставляя (6) в (4), получаем уравнение вида:

.                              (7)

Это уравнение Пуассона, которое в случае отсутствия пространственного заряда (r=0) преобразуется в уравнение Лапласа

.                                   (8)

Решение этих уравнений с учетом граничных условий дает распределение потенциала для заданной области пространства.

Для наглядного представления поля чертят его карту (картину). Это осуществляется либо с помощью так называемых линий напряженности (силовых линий), либо с помощью эквипотенциальных поверхностей (в двумерном случае - эквипотенциальных линий).

Линиями напряженности называются линии, в каждой точке которых вектор напряженности направлен по касательной. Модуль  вектора напряженности в окрестности некоторой точки определяется в заданном масштабе числом силовых линий, проходящих через единичную площадку, выделенную в ней и перпендикулярную к этим линиям.

Эквипотенциальной поверхностью (линией) называется совокупность точек пространства, имеющих один и тот же потенциал. Обычно на карте поля эквипотенциали изображают с одинаковым шагом.

Так как вдоль эквипотенциальной поверхности потенциал не изменяется, то согласно определению градиент в любой точке поверхности направлен по нормали к ней в сторону увеличения потенциала. Тогда силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону убывания потенциала (см. рис.1). Эту связь можно использовать для изображения эквипотенциальных поверхностей по известной карте силовых


линий и наоборот.