3495 ИССЛЕДОВАНИЕ СИГНАЛОВ И СПЕКТРОВ МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСЧИКА

  1. Цель работы

Исследование модулированных сигналов гармонического переносчика, их спектров при различных модулирующих воздействиях, изучение спектрального представления сигналов.

 

2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Объектом передачи или преобразования в любой информационной системе является сообщение, несущее в себе какую-либо информацию. В одних системах источником и потребителем информации является человек (например, в телефонии и телеграфии), в других (например, в информационных системах) различного рода технические средства и устройства, вычислительные машины и т.п. Сообщение может быть непрерывным (речь, температура) или дискретным (письменный текст, цифровые данные).

Для передачи сообщений необходимо воспользоваться каким-либо физическим процессом, являющимся переносчиком информации. Процесс, состоящий в изменении одного или нескольких параметров переносчика в соответствии с передаваемым сообщением, называется модуляцией.

Наиболее распространены гармонический и импульсный электрические переносчики. В некоторых системах используются так называемые шумовые переносчики, представляющие собой случайный процесс. Роль параметров переносчиков в этом случае играют числовые характеристики (моменты) случайного процесса.

Сообщения представляют собой некоторые случайные процессы, поэтому сигналы, получающиеся в результате модуляции, также являются случайными, и для отыскания характеристик модулированных сигналов следует использовать методы теории случайных процессов. Однако в подавляющем большинстве случаев более наглядное представление о свойствах модулированных сигналов можно получить, предположив, что модуляция производится некоторыми детерминированными сигналами, такими как гармоническое колебание или периодическая последовательность импульсов известной формы. Эти сигналы можно рассматривать как отдельные реализации из ансамбля возможных сообщений. В таком случае математическое описание модулированного сигнала упрощается.

Одно из эффективных средств математического описания сигналов – спектральное представление. Основой спектрального анализа сигналов является представление функции времени в виде ряда или интеграла Фурье. Представить периодический сигнал рядом Фурье – это значит найти амплитуды и начальные фазы всех его гармонических составляющих. Совокупность амплитуд называют спектром амплитуд сигнала, а совокупность начальных фаз – спектром фаз. Во многих случаях ограничиваются только спектром амплитуд, который обычно для краткости называется просто спектром, а иногда частотным спектром. Спектр амплитуд приводится в координатах «амплитуда» и «частота» . Каждой гармонической составляющей в этом случае будет соответствовать точка на плоскости. Для большей наглядности при графическом представлении обычно на ось частот из каждой точки опускают перпендикуляр, который будет изображать так называемую спектральную линию. Гармонические составляющие сигнала в координатах «амплитуда» и «частота» образуют спектрограмму.

Модуляция сообщением, представляющим собой гармоническое колебание , называется тональной. Рассматривая дискретную модуляцию (или манипуляцию), в качестве типичного детерминированного сообщения удобно применять периодическую последовательность периодических импульсов. Помимо математической простоты этот выбор оправдан тем, что такое сообщение обычно используется при испытании и наладке систем передачи и преобразования информации на практике.

 

2.1. Модуляция гармонического переносчика

При передаче сообщения на большие расстояния по проводным и радиоканалам переносчиком является гармоническое колебание высокой частоты

.                         (1)

 

Параметры этого колебания – амплитуда , частота и фаза . Каждый из этих параметров можно модулировать и получить соответственно (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую модуляцию (ФМ), а также смешанную модуляцию [1,2]. При этом соответствующий параметр переносчика имеет приращение, пропорциональное передаваемому сообщению . Так,

 

при АМ

при ЧМ                                                                              (2)

при ФМ

Как модуляция частоты , так и фазы  приводит к изменению мгновенной фазы. Поэтому оба вида модуляции из методических соображений можно объединить одним названием – угловая модуляция.

Если сообщение закодировано двоичным кодом, то модулируемый параметр принимает только два значения: одно будет соответствовать передаче символа I, другое – передача символа О. В этом случаи модуляцию называют манипуляцией.

 

2.2. Амплитудная модуляция гармоническим сигналом

Рассмотрим случай тональной модуляции, когда . Запишем модулированное по амплитуде колебание с учетом выражений       (1) и (2), выбирая  , в следующем виде:

.                           (3)

Здесь  - относительное изменение амплитуды, которое называется коэффициентом (глубиной) модуляции.

Графики модулирующего (первичного) сообщения или сигнала и модулированного колебания показаны на рис. 1, откуда коэффициент m можно определить как

.                            (4)

От величины m – глубины модуляции – зависит амплитуда огибающей напряжения, показанной на рис. 1, б пунктиром

 

а                                                                   б

Рис. 1. Графики сигналов: а – модулирующего;

б – модулированного по амплитуде

 

Как следует из этого же рисунка и выражения (4), чтобы исключить модуляционные искажения (перемодуляцию), необходимо выполнить условие . При модуляция будет стопроцентной (m = 100 %).

Раскроем скобки и, заменяя произведение косинусов суммой в выражении (3), получим

. (5)

Отсюда следует, что при тональной модуляции спектр модулированного по амплитуде сигнала состоит из трех гармонических составляющих: несущей с частотой  и двух боковых – нижней с частотой  и верхней  . Ширина полосы частот, занимаемая таким колебанием, равна . Спектры модулирующего сигнала и модулированного напряжения показаны на рис. 2.

 

 

а                                                                   б

Рис. 2. Спектр сигналов: а – модулирующего;

б – модулированного по амплитуде

 

 

2.3. Амплитудная модуляция сложным сигналом

 

Рассмотрим случай, когда модулирующий сигнал является сложным и содержит n гармонических составляющих (а не одну гармонику).

На основе выражения (1), (2), (3) можно получить

,  (6)

где  - глубина модуляции, вызываемая -ой гармонической составляющей модулирующего сигнала.

Спектры модулирующего сигнала и АМ-колебания показаны соответственно на рис. 3.

 

а                                                             б

Рис. 3. Спектры сигналов: а – спектр модулирующего сигнала,

содержащего n гармоник; б – спектр амплитудно -

модулированного колебания

 

Каждое гармоническое колебание с частотой , входящее в состав модулирующего сигнала (рис. 3, а), обуславливает появление в спектре модулированного колебания, представленного выражением (6), двух боковых частот   и (рис. 3, б).

Ширина полосы частот, занимаемая АМ-колебанием в рассмотренном случае, равна , где  - максимальная частота гармонического колебания, входящего в модулирующий сигнал (максимальная частота в спектре последнего).

 

2.4. Амплитудная манипуляция последовательностью

прямоугольных импульсов

 

Пусть модулирующий сигнал представляет последовательность прямоугольных импульсов (рис. 4, а). В общем случае при амплитудной манипуляции с учетом выражений (2) и (3) модулируемый сигнал (рис. 4, б) будет иметь два значения: максимальное  и минимальное .

 

а

 

б

Рис. 4. Амплитудная манипуляция: а – модулирующий сигнал;              б – амплитудно-манипулированное колебание

Часто при амплитудной манипуляции выбирают . Тогда , , т.е. для сообщений закодированных, например, двоичных кодов, при передаче символа 1 несущая излучаться будет, при передаче символа 0 излучение отсутствует. Если импульсы последовательности имеют большую скважность, например при фазово-импульсной модуляции, то при  импульсная мощность несущей соответственно возрастает, что позволяет в каналах связи увеличить дельность передачи или снизить действие помех. Последовательность прямоугольных импульсов можно рассматривать как сложный сигнал, состоящий из отдельных гармонических составляющих. Эти составляющие можно получить из разложения исходного сигнала в ряд Фурье [2]:

,

где  - частота следования импульсов.

Как уже отмечалось, каждая составляющая с частотой , входящая в спектр прямоугольных импульсов, обусловит появление в спектре манипулированного сигнала двух боковых частот  и . Спектр прямоугольных импульсов приведен на рис. 5, а, а спектр манипулированного сигнала – на рис. 5, б.

В общем случае, когда известен спектр модулированного сигнала, спектр  АМ-колебания  можно  построить по следующему правилу: сместить спектр модулирующего сигнала на интервал частот, равный несущей частоте

, и зеркально отобразить относительно спектральной линии на несущей частоте.

 

а                                                                 б

Рис. 5. а – последовательности прямоугольных импульсов;

б – амплитудно-манипулированного сигнала

2.5. Передача одной боковой полосы

Поскольку спектры боковых частот при АМ симметричны, то с целью уменьшения полосы частот модулированного сигнала обычная модуляция все чаще заменяется передачей одной боковой полосы (ОБП). При однополосной передаче одна из боковых полос и несущая подавляются с помощью фильтров или специальных схем. Такая передача обеспечивает сокращение полосы частот более чем в 2 раза, а за счет отбрасываемых компонент мощность сигнала с ОБП может быть увеличена в несколько раз. В случае ОБП и гармонического модулирующего сигнала (рис. 6, а, б) спектр состоит лишь из одной спектральной линии.

 

а                                                         б

Рис. 6. График сигнала при ОБП и гармоническом

модулирующем сигнале: а – спектр сигнала с одной боковой полосой; б – восстановленный модулированный сигнал

2.6. Частотная и фазовая модуляция

ЧМ- и ФМ-колебания при тональной модуляции представлены на     рис. 7. Из рассмотрения этих колебаний можно установить, что когда модулирующий сигнал (рис. 7, а) имеет максимальное значение, то у          ЧМ-сигнала (рис.7, б) период колебаний минимален, а у ФМ-сигнала         фазовое отклонение максимально относительно немодулированной несущей. При модуляции амплитуды ЧМ- и ФМ-колебания сохраняются неизменными.

 

 

а                                                   б

Рис. 7. Графики сигналов: а – модулирующего,

б – при ЧМ

2.7. Частотная и фазовая модуляция гармоническим сигналом

Выбирая , колебание при тональной модуляции можно записать в следующем виде:

,                     (7)

где  - функция Бесселя первого рода порядка n;

- индекс частотной модуляции;

- максимальное отклонение или девиация частоты при модуляции относительно частоты .

Если принять отклонение фазы при ФМ , то выражение (7) будет справедливо для ФМ-колебаний с тональной модуляцией, что позволило (см. выше) объединить ЧМ и ФМ под одним названием: угловая модуляция. Учитывая это, в дальнейшем будем рассматривать только ЧМ.

На рис. 8 приведен спектр ЧМ-колебания. Этот спектр дискретен и состоит из колебаний с несущей частотой  , амплитуда которой пропорциональна функции Бесселя нулевого порядка  и бесконечного числа симметричных боковых частот  с амплитудами, пропорциональными функциям Бесселя соответствующих порядков.

 

 

Рис. 8. Спектр амплитуд

частотно-модулированного сигнала

 

2.8. Частотная манипуляция последовательностью прямоугольных импульсов

Сигнал после частотной манипуляции должен иметь два граничных значения частоты:  и . Напряжение, частота которого имеет два значения, показано на рис. 9. Такое напряжение можно представить как сумму сигналов  и  с амплитудной манипуляцией (), т.е. получающихся от двух генераторов с амплитудной манипуляцией.

 

Рис. 9.  Частотная  манипуляция

 

 

 

Рис. 10. Спектр частотно-манипулированного сигнала

 

Если при частотной манипуляции модулирующим сигналом является последовательность прямоугольных двухполярных импульсов с периодом , то выражение для частотно-манипулированного без разрыва фазы колебания  будет иметь следующий вид:

(8)

где  - частота следования импульсов;

- индекс ЧМ при частотной манипуляции.

Из выражения (8) следует, что при частотной манипуляции спектр сигнала состоит из колебаний на несущей частоте  и на боковых частотах , как и в случае гармонического модулирующего сигнала, но амплитуды колебаний другие. На рис. 10 приведен характерный спектр сигнала с частотной манипуляцией.

 

2.9. О практической ширине спектра при частотной манипуляции

 

Полоса частот, занимаемая ЧМ-колебанием, строго говоря, бесконечна. Реальные устройства и каналы связи имеют ограниченные полосы пропускания, что накладывает ограничение ширины спектра при ЧМ. На практике учитывают только те компоненты спектра, амплитуды которых не превышают 1% от амплитуды немодулированной несущей, что позволяет ограничить полосу ЧМ-колебания на энергетической основе. На той же основе с достаточной точностью ширину полосы частот при тональной модуляции можно вычислить при помощи формул:

 

(9)

или

.                                     (10)

 

Из формулы (9) следует, что при небольших индексах модуляции (практически ) ширина полосы равна , как в случае с АМ. Если же индексы модуляции превышают единицу (при неизменной девиации частоты ), ширина полосы будет уменьшаться с ростом , что непосредственно следует из формулы (10). Так как в данном случае величина  будет определяться частотой  модулирующего сигнала, то из формулы (10) также вытекает, что при значении , стремящейся к нулю,  стремится к значению .