3838 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.     СТРОЕНИЕ И СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1. Плоскость пересекает оси кубического кристалла в точках 3а, 2а, 2а, где а - параметр элементарной ячейки. Найти индексы и символ Миллера этой плоскости.

1.2. Изобразить приблизительно плоскости (001),(110),(11),(111) в кристалле кубической сингонии.

1.3. Найти индексы и символы прямых АВ, CD, KL, изображенных на рис.1.1, а, б, в.

 

а                                     б                                            в

Рис. 1.1. К задаче 1.3

1.4. Написать индексы направления, проходящего через узлы [[100]] и [[001]] примитивной кубической решетки.

1.5. Написать индексы и символ направления, проходящего в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическим символом, в двух случаях:1) [[242]]; 2) [[112]].

1.6. Написать индексы и символ направления, проходящего через два узла с кристаллографическими символами (в двух случаях):1) [[123]] и [[321]]; 2)[[121]] и [[201]].

1.7. Определить индексы и символ Миллера указанных на рис. 1.2 плоскостей.

 

а                                  б                                    в

Рис.1.2. К задаче 1.7

 

1.8. Плоскость проходит через узлы [[]],[[00]] и [[00]] кубической решетки. Написать индексы и символ Миллера для этой плоскости.

1.9. Определить индексы и символ Миллера указанных на рис. 1.3 плоскостей.

 

а                                  б                                  в

Рис. 1.3. К задаче 1.9

1.10. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана символом Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоскость графически.

1.11. Определить символ вертикальной грани кристалла, если заданы отрезки, отсекаемые этой гранью на осях координат: OA = 8,79 см; OB = 9,44 см, и отношение осевых единиц: a:b = 0,621:1.

1.12. Точкам пересечения некоторой плоскости кристалла с осями координат соответствуют числа 2,1,4. Найти индексы и символ Миллера для этой плоскости и изобразить соответствующий чертеж.

1.13. Найти символ грани кристалла А΄В΄С΄, отсекающей на осях OX, OY и OZ отрезки, соответственно 1/4,/2 и 2 см,если известно, что единичная грань АВС того же кристалла отсекает на тех же осях отрезки 1, 2 и 4 см.

1.14. По известным символам Миллера следующих граней найти символы Миллера-Браве: (), (), (), (), ().

1.15. Даны отрезки, отсекаемые вертикальной гранью гексагонального кристалла на осях OX и OU, OA=2 и OF= -3. Определить символ грани.

1.16. Определить индексы и символы плоскостей, проходящих через две пространственных диагонали куба.

1.17. Определить символ оси зоны (ребра), образованной гранями дидодекаэдра (321) и (132).

1.18. С помощью рентгеноструктурного анализа установлено, что кристалл шпинели MgAlO4 имеет параметры: a = b = c = 8,11 Å. На кристалле наблюдаются грани (111), (), (), () и грани, параллельные названным. Требуется:

1) изобразить общий вид кристалла (найти облик);

2) найти символ оси зоны, содержащей грани () и ();

3) найти условие принадлежности граней кристалла этой зоне;

4) определить, какие еще грани кристалла также принадлежат этой зоне;

5) изобразить проекцию решетки шпинели на плоскость (001);

6) провести след плоскости (110) и нормаль к этой плоскости, проходящую через начало координат; найти расстояние по нормали от начала координат до первой плоскости этого семейства, выраженное в ангстремах;

7) определить углы между соседними плоскостями.

1.19. У кристалла ромбической серы грань (hkl) лежит на пересечении осей зон [] и []. Были измерены следующие углы:

51º28´ – между гранями (100) и (hkl);

70 º 18´ - между гранями (010) и (hkl).

Определить индексы и символ грани (hkl), угол между (001) и (hkl) и осевые отрезки a и c, если b =12,94 Å.

Указания к решению. Воспользовавшись законом Вейсса и тем, что сумма квадратов направляющих косинусов в системе ортогональных осей координат равна 1, т.е. cos2φ + cos2ξ + cos2χ = 1, получим соотношение h/a : k/b: l/c = cos φ : cos ξ : cos χ.

1.20. Написать индексы и символ Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими символами, в двух случаях: а) [[111]], [[12]], [[01]]; б) [[11]], [[010]], [[]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

1.21. Определить, будут ли какие-либо из плоскостей семейства {111} нормальны к каким-либо плоскостям семейства {011}. Привести примеры.

1.22. Вычислить угол ψ между двумя направлениями в кубической решетке кристалла, которые заданы кристаллографическими символами [110] и [111].

1.23. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана символом {111}. Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр (элементарная трансляция) a решетки равен 0,3 нм.

1.24. Определить параметр a примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданных символом Миллера {212}, при рентгеноструктурном измерении оказалось равным 0,12 нм.

1.25. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке заданы символами Миллера: а) {111}; б) {110}; в){100}. Указать, для какой системы межплоскостные расстояния d минимальны и для какой системы – максимальны. Определить отношения межплоскостных расстояний.

1.26. Вычислить угол ψ между плоскостями в кубической решетке, заданными символами Миллера (111) и (111).

1.27. Две плоскости в кубической решетке заданы символами Миллера (010) и (011). Определить угол между плоскостями.

1.28. Направление прямой в кубической решетке задано символом Миллера [011]. Определить угол между этой прямой и плоскостью (111).

1.29. Определить угол между прямой [111] и плоскостью (111) в кубической решетке.

1.30. Плоскость в кубической решетке задана символом Миллера (011), а направление – символом [111]. Определить угол между прямой и плоскостью.

1.31. Найти угол между направлением [111] и плоскостью (111):

а) в кубическом кристалле;

б) в тетрагональном кристалле с трансляциями а = 5,67 Å, с = 12,70 Å.

1.32. В тетрагональном кристалле CuFeS2 угол между плоскостями (111) и () равен 108º40´. Вычислить: а) отношение трансляций а/с; б) угол между осями зон [236] и [001].

1.33. Вычислить угол между плоскостями (100) и (10) в кремнии.

1.34. Вычислить минимальное расстояние между плоскостями {120} в кремнии. Параметр элементарной ячейки равен 5,43 Å.

1.35. Определить угол между плоскостями (110) и (12) в кремнии.

1.36. Вычислить для кубической решетки углы между направлением [123] и осями координат.

1.37. Определить угол между плоскостью (112) и направлением [111] в кристалле тетрагональной сингонии, если a = 2,5 Å, c = 3,6 Å.

1.38. Найти угол между плоскостью (101) кристалла кубической сингонии и плоскостью, лежащей на пересечении осей зон [101] и [].

1.39. Найти угол между плоскостью (320) кристалла кубической сингонии и плоскостью, лежащей на пересечении осей зон [02] и [10].

1.40. Вычислить угол между ребром, образованным при пересечении граней (210) и (02) кристалла кубической сингонии, и плоскостью (111).

1.41. Решетку типа алмаза можно рассматривать как комбинацию двух вставленных друг в друга и смещенных одна относительно другой на 1/4 пространственной диагонали подрешеток со структурой ГЦК. У одной подрешетки начало координат лежит в точке с координатами 000, а у другой оно сдвинуто вдоль диагонали куба на четверть ее длины. Требуется: а) написать координаты всех атомов этой элементарной ячейки; б) определить число атомов, образующих эту элементарную ячейку.

1.42. Полиморфизмом называется свойство некоторых веществ существовать в нескольких кристаллических фазах, отличающихся по симметрии структуры и свойствам. Чистое железо при атмосферном давлении имеет следующие модификации:

α-железо ↔ γ-железо ↔ δ-железо

ОЦК ↔ 910 º С↔ ГЦК ↔1400 ºС↔ ОЦК.

Рассчитать отношение плотностей железа в структурах α- и γ-железо при 910 ºС, исходя из равенства атомных радиусов обеих модификаций и свойства металлов иметь плотнейшую упаковку атомов.

1.43. Вывести математическое соотношение между параметром а и радиусом r несжимаемых шаров в следующих типах элементарных ячеек с плотнейшей упаковкой:

а) примитивная кубическая;

б) объемно-центрированная кубическая (ОЦК);

в) гранецентрированная кубическая (ГЦК);

г) структура алмаза.

1.44. У каких плоскостей в структурах ГЦК и ОЦК наиболее высокая плотность упаковки атомов? В каких направлениях указанных структур линейная плотность расположения атомов максимальна?

1.45. Параметр кубической элементарной ячейки металла, содержащей два атома, согласно данным рентгеноструктурного анализа, составляет 3.16 Å. Плотность металла – 19,35 г/см3 . Вычислить атомную массу элемента.

1.46. Вычислить число Авогадро исходя из следующих данных: плотность золота равна 19,3 г/cм3, золото кристаллизуется в гранецентрированную кубическую элементарную ячейку с параметром 0,4 нм.

1.47. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку: 1) примитивной решетки кубической сингонии; 2) объемно-центрированной решетки ромбической сингонии; 3) гранецентрированной решетки кубической сингонии; 4) базоцентрированной решетки ромбической сингонии; 5) примитивной решетки гексагональной сингонии; 6) гексагональной структуры с плотной упаковкой.

1.48. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом 1 м3: 1) хлористого цезия (решетка ОЦК); 2) меди (решетка ГЦК); 3) кобальта, имеющего гексагональную структуру с плотнейшей упаковкой.

1.49. Изучение кристалла хлорида натрия с помощью рентгеноструктурного анализа показало, что он представляет собой гранецентрированную кубическую решетку с расстоянием между ионами натрия и хлора, равным 0, 2814 нм. Плотность кристалла составляет 2,165 г/см3. Вычислить число Авогадро.

1.50. Определить период идентичности l вдоль прямой [111] в решетке кристалла NaC . Плотность указана в задаче 1.49.

1.51. Рассчитать следующие параметры структуры кремния: 1) число атомов, содержащихся в элементарной ячейке; 2) атомный радиус элемента, полагая что длина ребра элементарной ячейки кристалла составляет 0,54 нм; 3) число атомов кремния в 1 см3; 4) концентрацию валентных электронов в 1 см3.

1.52. Длина ребра куба в элементарной ячейке кристалла алмаза составляет 0,365 нм. Найти расстояние между двумя ближайшими соседними атомами и концентрацию атомов в 1 см3.

1.53. Найти зависимость расстояния между двумя ближайшими атомами от параметра a для ГЦК и ОЦК элементарных ячеек.

1.54. Вычислить плотность кристалла неона (при 20 К), полагая, что его решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная a при той же температуре равна 0,452 нм.

1.55. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что его решетка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм.

1.56. Определить относительную атомную массу кристалла, если известно, что расстояние d между ближайшими соседними атомами составляет 0,304 нм. Решетка кристалла ОЦК, плотность – 534 кг/м3.

1.57. Найти постоянную решетки a и расстояние между ближайшими соседними атомами кристалла d: 1) алюминия (решетка ГЦК); 2) вольфрама (решетка ОЦК).

1.58. Определить постоянные a и c решетки кристалла магния, который представляет собой гексагональную структуру с плотнейшей упаковкой. Плотность кристаллического магния равна 1,74 г/см3.

1.59. Вычислить постоянную a решетки кристалла бериллия, который представляет собой гексагональную структуру с плотнейшей упаковкой атомов. Параметр c решетки равен 0,359 нм, плотность составляет 1,82 г/см3.

1.60. Найти плотность кристалла гелия (при 2 К), который представляет собой гексагональную структуру с плотнейшей упаковкой. Постоянная решетки, определенная при той же температуре, равна 0,357 нм.

1.61. Зная плотность меди 8,9 г/см3, вычислить параметр a ее кристаллической решетки.

1.62. Параметр кристаллической решетки меди равен 0,361 нм. Написать символ Миллера для системы плоскостей, плотность расположения атомов в которых максимальна. Вычислить эту плотность, выразив ее в количестве атомов, приходящихся на 1 см2.

1.63. Рассчитать теоретическую плотность кристалла NaCl, если постоянная элементарной ячейки составляет 0,5628 нм. В элементарную ячейку входят четыре иона натрия и четыре иона хлора.

1.64. В орторомбической структуре все ребра элементарной ячейки взаимно перпендикулярны, но не равны между собой по длине. Начертить плоскость (321) и направление [321]. Найти угол между направлением [321] и нормалью к плоскости (321), если длины ребер элементарной ячейки относятся как 1 : 1 : 2.

1.65. Рассчитать «угол между связями» в структуре твердого германия.

1.66. Рентгеновские лучи с медного анода имеют длину волны λ = 1,537 Å. Попадая на кристалл алюминия, они вызывают дифракцию от плоскостей (111) под углом Вульфа-Брегга θ = 41,13º .Алюминий имеет структуру ГЦК, плотность 2,699 г/см3, молярную массу – 26,98 г∙моль-1. По этим экспериментальным данным рассчитать число Авогадро (число атомов в 1 моле вещества).

1.67. Получена рентгенограмма вращения с монокристалла тетрагональной сингонии. Длина волны рентгеновского излучения равна 1,542 Å; пучок рентгеновских лучей перпендикулярен к оси вращения, которая является осью этого кристалла. Радиус камеры 3 см, длина 10 см. На нулевой слоевой линии наблюдаются рефлексы на расстояниях 0,54; 0,75; 1,08; 1,19; 1,52; 1,63; 1,71 и 1,97 см от места выхода прямого пучка, т.е. от центра пленки. Расстояние первой слоевой линии от нулевой линии составляет 0,66 см.

Проиндицировать наблюдаемые на нулевой слоевой линии рефлексы, вычислить параметры элементарной ячейки кристалла и расстояние каждой наблюдаемой слоевой линии от нулевой линии рентгенограммы вращения.

1.68. Рентгенограмма металлического порошка получена в рентгеновской камере Дебая-Шерера на излучении молибдена Кα (λ = = 0,7107 Å). Для первых шести наблюдаемых линий дебаевские углы θ оказались равными 7.35; 7,82; 8,33; 10,70; 12,80 и 13,90º.

Определить тип кристаллической решетки и проиндицировать (найти символы) наблюдаемые линии. Вычислить атомную массу вещества, если его плотность составляет 1,74 г/см3. Единицу атомной массы принять за 1,660∙10-24 г.

1.69. На дебаеграмме некоторого кубического кристалла, полученной на излучении меди Кα (λ = 1,542 Å), наблюдаются линии под углами Брегга θ:12,3; 14,1; 20,2; 24,0; 25,1; 29,3; 32,2 и 33,1º.

Определить символы плоскостей, которые вызвали появление указанных линий на дебаеграмме. Найти число структурных единиц в одной элементарной ячейке, выяснить, является ли эта решетка примитивной, гранецентрированной или объемно-центрированной, вычислить длину ребра ячейки. Плотность вещества равна 8,31 г/см3, атомная масса составляет 312. Единицу атомной массы принять за 1,660 ∙10-24 г.

1.70. Электроны, подобно рентгеновским лучам, могут быть использованы для наблюдения дифракции в кристаллах. При какой энергии электронов они будут отражаться от плоскостей (100) кристалла с параметром решетки 4 Å, если угол Вульфа-Брегга равен 45º?

1.71. Через площадь кристалла 1 см2 проходят 106 прямолинейных краевых дислокаций. На какое расстояние переместится каждая дислокация, если нагреть кристалл от 0 до 1000 К? Энергия активации дислокации составляет 1 эВ, а постоянная решетки – 2 Å.