3840 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение колебательных процессов при наличии сил трения, экспериментальное определение коэффициента затухания, логарифмического декремента и добротности крутильного маятника.

Приборы и принадлежности: стандартная установка ФПМ-09.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 1

 

Крутильный маятник представляет собой массивное тело, скажем диск или брусок (рис. 1), подвешенное на тонкой упругой струне или кварцевой нити. При выводе такого маятника из положения равновесия на некоторый угол q на него со стороны нити начинает действовать упругий момент

 

,                                              (1)

пропорциональный углу поворота q. k¢ - постоянная, характеризующая момент упругих сил (аналогичная жесткости k пружины).

Если струна достаточно тонкая и длинная, то, как показывает опыт, зависимость (1) справедлива и для довольно больших углов закручивания, например q³2p. Кроме того, затухание крутильного маятника обычно мало. Все это делает его удобным прибором для измерения различных физических величин.

Затухание маятника определяется моментом сил трения, пропорциональным угловой скорости :

,                                                   (2)

где r¢ - коэффициент пропорциональности.

Движение маятника описывается уравнением моментов:

,                                          (3)

которое с учетом (1) и (2) легко привести к уравнению осциллятора с вязким трением:

,                                           (4)

где  - момент инерции маятника относительно оси вращения,  - коэффициент затухания,  - собственная циклическая частота колебаний маятника.

Период слабозатухающих колебаний маятника (b<<w0) примерно равен периоду собственных незатухающих колебаний, т.е.

.                                         (5)

Это выражение указывает простой путь для вычисления k¢, если известен момент инерции J, измерить период колебаний маятника Т. И наоборот, если k¢ измерено, то с помощью (5) можно определить момент инерции J.

Решением уравнения (4) является функция вида

,                                    (6)

где  - амплитуда колебаний в момент времени t, w - циклическая частота этих колебаний, j - начальная фаза, причем

.                                             (7)

График функции (6) представлен на рис. 2. Характер движения маятника, т.е. вид функции q(t), сильно зависит от соотношения между коэффициентом затухания b и собственной частотой колебаний w0.

Если b<<w0 (трение мало), то q(t) представляет собой медленно затухающую синусоиду: маятник совершает почти гармонические колебания, амплитуда которых за один период колебаний изменяется мало.

 

 

 

Рис. 2

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими, так как с течением времени их амплитуда убывает. Амплитудой колебаний в момент времени t по аналогии с незатухающими колебаниями называют величину

,

т.е. коэффициент при функции sin(wt+j) в выражении (6). Это определение амплитуды имеет смысл только для слабозатухающих колебаний, когда уменьшение амплитуды за один период является незначительным.

Уменьшение затухающих колебаний за один период Т характеризуется логарифмическим декрементом затухания l:

.                                            (8)

Так как

,

а

,

то очевидно, что

.                                                  (9)

Чем меньше l, тем ближе вид колебаний к синусоидальным.

Пусть Nе - число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е»2,7 раза.

Тогда

 

или

 

откуда следует, что

(10)

и

.                                      (11)

Для характеристики колебательной системы используется также величина

,                                       (12)

называемая добротностью колебательной системы. Более строгое определение добротности и вывод выражения (12) представлены в приложении.