3813 ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО УДАРОВ ШАРОВ

Цель работы: изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента восстановления скорости и энергии деформации шаров.

Приборы и принадлежности: установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров ФПМ-08.

 

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

 

Ударом или соударением называется столкновение двух или нескольких тел, при котором их взаимодействие длится очень короткое время. При этом их кинетическая энергия полностью или частично переходит в потенциальную энергию деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.

В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы служит ее импульс за время удара, т.е. величина

,                                        (1)

где  - средняя сила удара; t - время ударного взаимодействия.

Если импульс за время t удара изменяется на конечную величину , то из второго закона динамики следует, что

.                                   (2)

Измеряя время ударного взаимодействия, можно на основании (2) определить среднюю силу удара  по формуле

,                           (3)

где  и  - массы взаимодействующих тел;  и  - изменения их скоростей при ударе.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются законами сохранения импульса и энергии. Эти законы можно сформулировать так: полный импульс и полная механическая энергия замкнутой системы остаются неизменными. Система называется замкнутой, если она не отдает своей энергии и не получает ее извне.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия деформации не возникает: кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается (большая часть кинетической энергии тел переходит при этом в тепло).

При изучении столкновения двух тел обычно рассматривают прямой центральный удар. Уточним понятия «прямой» и «центральный» применительно к удару.

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

а

 

 

б

 

Рис. 2

Общая нормаль nn к поверхностям соударяющихся тел (рис. 1) в точке А их соприкосновения называется линией удара. Удар называется прямым, если скорости  и  центров масс C1 и C2 соударяющихся тел перед ударом параллельны линии удара. В противном случае удар называется косым (см. рис. 1). Удар называется центральным, если при ударе центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара.

В качестве примера столкновения двух тел рассмотрим центральный удар двух шаров. Такой удар может произойти, если: 1) шары движутся навстречу друг другу (рис. 2,а) и 2) один из шаров догоняет другой (рис. 2,б).

Будем считать, что шары образуют замкнутую систему или что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии в случае абсолютно упругого удара шаров будем иметь

(4)

и

,                     (5)

где  и  - массы шаров; ,  и ,  - их скорости до и после взаимодействия.

Из уравнений (4) и (5) находим скорости шаров  и после столкновения:

(6)

и

.                       (7)

Мы рассмотрели крайний случай - абсолютно упругий удар. В действительности кинетическая энергия тел после соударения становится меньше их первоначальной энергии на величину

,       (8)

где Кс - так называемый коэффициент восстановления скорости. Эта часть механической (кинетической) энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.

Коэффициент восстановления Кс определяется отношением абсолютных значений относительных скоростей тел после и до удара, т.е.

,                                       (9)

и зависит от физических свойств материала, формы и масс соударяющихся тел.

Примечание. В общем случае (косой удар, рис. 1) коэффициент восстановления скорости определяется по формуле

,

где , ,  и  - проекции скоростей двух тел на линию удара до и после их взаимодействия.

Итак, если при ударном взаимодействии потери кинетической энергии нет, т.е. Кс=1, удар называется абсолютно упругим, соответственно при Кс=0 - абсолютно неупругим и при 0<Кс<1 - не вполне упругим.

«Потерю» кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе можно найти по формуле (8), положив в ней Кс=0, или непосредственно с помощью законов сохранения импульса и полной энергии, применив их к указанному виду взаимодействия:

(10)

и

.            (11)

Отсюда следует

,                   (12)

что при =0, в частности, дает:

.                            (13)