3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

Цель работы: изучение законов сохранения в механике на примере столкновения шаров на плоскости; определение коэффициента восстановления скорости и средней силы удара.

 

Основы теории

 

Законами сохранения в механике являются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. При этом последний из перечисленных законов имеет смысл рассматривать при вращательном движении. В данной работе изучается поступательное движение тел. В этом случае остается рассмотреть применимость двух первых законов.

Импульсом или количеством движения называется векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость: . Закон сохранения импульса выполняется в замкнутой системе. Система тел  называется замкнутой, если эти тела взаимодействуют только между собой, т.е. сумма внешних сил, действующих на каждое из этих тел, равна нулю. В этом случае можно записать закон сохранения импульса:

 

.                                 (1)

В этом выражении  - скорости тел в начальный момент времени, а  - скорости тел в любой другой момент времени.

Закон сохранения энергии - один из наиболее фундаментальных законов физики. Если учитывать все виды энергии,  то этот закон выполняется всегда. Однако при изучении механики некоторые виды энергии выводят из рассмотрения, так как их невозможно определить, используя только механические величины. Например, внутренняя энергия тела зависит от его агрегатного состояния и его температуры, которая в механике не рассматривается. Поэтому в механике часто применяют закон сохранения механической энергии.        Под механической энергией системы тел подразумевают сумму их кинетических и потенциальных энергий.

Кинетической называется энергия движения тела. При движении с малой скоростью кинетическая энергия определяется выражением:

 

.                                            (2)

Если же скорость движения тела соизмерима со скоростью света (с), то кинетической энергией называется разность между релятивистской энергией двигающейся массы и энергией покоя тела (m0 - масса покоя этого тела):

 

(2а)

 

При малой скорости  выражение (2а) превращается в (2).

Потенциальной называется энергия, связанная со взаимодействием тел между собой и зависящая от их взаимного расположения. Понятие потенциальной энергии связано с понятием работы. Если при взаимодействии тел работа, совершаемая силами взаимодействия этих тел, не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения тел, то подобное взаимодействие можно характеризовать потенциальной энергией. При этом такие силы называются консервативными, а работа этих сил равна изменению потенциальной энергии.

Основными видами потенциальной энергии являются: энергия гравитационного взаимодействия (энергия тяготения), энергия упругой деформации, энергия кулоновского взаимодействия заряженных тел.

Если работа силы зависит от траектории движения, а не только от начального и конечного положения, то такому взаимодействию нельзя поставить в соответствие потенциальную энергию. Такие силы называются диссипативными (т.е. приводящими к потери механической энергии).  Их работа обычно переводит часть механической энергии во внутреннюю энергию тел. Наиболее типичные примеры таких сил - это силы трения.

Таким образом, механическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной, если в этой системе действуют только консервативные силы.

В данной работе изучаются законы сохранения при столкновении двух тел на плоскости. При этом считается, что тела взаимодействуют только между собой, так что система является замкнутой.

Ударом или соударением называется столкновение двух тел, при котором их взаимодействие длится очень короткое время. Время взаимодействия можно считать коротким, если за время соударения тела не успевают изменить своего положения в пространстве. При этом потенциальная энергия взаимодействия с другими телами (помимо сталкивающихся) не изменяется и кинетическая энергия сталкивающихся тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации и внутреннюю энергию тел.

Для замкнутой системы из двух тел закон сохранения импульса примет вид:

 

.                                     (3)

 

здесь  и  - скорости тел до, а и  - после  удара ,  и  - массы сталкивающихся тел.

Закон сохранения энергии в этом случае можно записать в виде:

 

,                              (4)

 

где  - та часть первоначальной кинетической энергии сталкивающихся тел, которая при ударе переходит в их внутреннюю энергию. Эта величина зависит от «упругости» удара. Если удар является абсолютно упругим, то , и суммарная кинетическая энергия тел не изменяется. Если удар является абсолютно неупругим, то упругой деформации не возникает, в результате чего после столкновения тела двигаются с одной скоростью (или покоятся). В этом случае  максимально ( при заданных начальных данных) и соотношения (3) и (4) можно записать в виде:

 

;                          (3а)

.                   (4а)

В этих формулах  - общая скорость тел после столкновения.

В переходном случае (от абсолютно упругого до абсолютно неупругого ) удар называется неупругим и потерю кинетической энергии можно определить по формуле (4). В этом случае механическая энергия системы не сохраняется.

О степени «упругости» удара можно судить по так называемому коэффициенту восстановления скорости:

 

(5)

При абсолютно упругом ударе Кс=1, а при абсолютно неупругом -  Кс=0. На практике коэффициент восстановления скорости зависит в основном от материала сталкивающихся тел.

Для расчета силы, возникающей между сталкивающимися телами, нужно применить основной закон динамики:

 

.                                               (6)