3741 АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ И СРЕДСТВ УПРАВЛЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА

1. Цель работы

Выработка навыков построения и практического применения функций Ляпунова для автоматизированного анализа устойчивости систем автоматического управления, описываемых линеаризованными уравнениями, а также навыков автоматизированного решения в системе MATLAB возникающих при этом вопросов.

2. Краткие теоретические сведения

2.1 . Основные определения устойчивости непрерывных систем

Исследование процессов в многосвязных системах управления сопровождается большой сложностью и трудоемкостью вычислений. Достоверность же результатов, получаемых на основе точных методов исследования, может быть малой из-за неточного знания исходных характеристик и параметров системы, их изменения в процессе работы [1]. При анализе устойчивости нет необходимости точно определять поведение сложной системы во всех деталях. Достаточно определить лишь основные характеристики её поведения. Одним из подходов, позволяющих исследовать основные характеристики поведения систем управления  САУ, является использование второго или  прямого метода Ляпунова анализа устойчивости. В основе этого метода лежит построение специальной функции (функции Ляпунова) координат состояния системы управления и исследования её свойств.

Исследование устойчивости путём построения и исследования функции Ляпунова позволяет с единых методических позиций анализировать как линейные, так и нелинейные системы автоматического управления по их непрерывным (в форме дифференциальных уравнений (ДУ)) или дискретным (в форме разностных уравнений (РУ)) моделям [2]. В этом смысле подход универсален. Это является весьма важным обстоятельством при автоматизированном проектировании САУ.

В лабораторной работе анализируется устойчивость непрерывных САУ, допускающих описание линеаризованными ДУ и устойчивость дискретных САУ, описываемых линеаризованными разностными уравнениями.

Традиционно методы анализа устойчивости таких САУ, рассматриваемые в учебной литературе, используют критерии устойчивости Стодолы, Рауса,  Гурвица, Найквиста и др. Вопросы, связанные с анализом устойчивости на основе прямого метода Ляпунова относят в разделы, посвящённые анализу нелинейных САУ [3].

Приведём некоторые из положений прямого метода анализа устойчивости САУ по линеаризованным уравнениям.

Пусть поведение исходной непрерывной системы описано системой ДУ в векторной форме

 

(1)

где  - вектор из n координат состояния  - векторная функция, определённая на открытом множестве . Здесь  - интервал времени, , а  - евклидова норма (длина) вектора.

Считаем, что вектор-функция  непрерывна и дифференцируема в каждой точке области ее определения. В этих условиях для каждого начального значения , вектора координат состояния существует единственное решение ДУ (1).

Пусть  – некоторое решение ДУ (1), устойчивость которого необходимо исследовать. Такое решение называют невозмущённым. Другие решения, полученные при , называют возмущёнными. Разность  рассматривается как возмущения по начальным условиям. Анализ устойчивости невозмущённого решения  осуществляется путём исследования поведения всевозможных отклонений

 

(2)

возмущённых решений  от невозмущённого. Для этого рассматривают решения приведённой системы, полученной в виде

.

(3)

При нулевом возмущении  по начальным условиям ДУ (3) имеет решение , называемое тривиальным. Для характеризации тривиального решения рассматриваются ненулевые решения  приведённой системы (3). Характеризация использует различные определения устойчивости [1]-[4].

Определение 1. Тривиальное решение ДУ (3) называют устойчивым по Ляпунову, если для любого найдутся также , что при  выполняется неравенство  при . Рис. 1 иллюстрирует устойчивое решение .

На рис. 1 отмечено, что величина , ограничивающая по начальным условиям, зависит не только от величины , но и начального момента времени.

Кривые изменения нормы вектора отклонений координат состояния возмущённого решения от невозмущённого, начинаясь на отрезке , не покидают полосы  при всех , когда тривиальное решение  устойчиво.

 

 

Рис. 1. Графики отклонения устойчивого решения

 

Рис. 2

 

Кривая, показанная на рис. 2, иллюстрирует характер изменения координат  состояния системы 2-го порядка в виде траектории изображающей точки для устойчивого решения .

Если условия устойчивости решения  не выполняются, то его считают неустойчивым. Более строго это устанавливают следующие определения.

Определение 2. Тривиальное решение ДУ (3) называют неустойчивым по Ляпунову, если для любого  найдется возмущённое решение и момент , такие что хотя , но  при .

Определение 3. Решение  называют равномерно устойчивым по , если для любого  найдётся такое , не зависящее от , что , , если .

В литературе рассматривается ряд других свойств устойчивости решений  [4]. Из них приведём лишь два, которые понадобятся в дальнейшем.

Определение 4. Тривиальное решение  уравнения (3) называют асимптотически устойчивым, если:

а) оно устойчиво по Ляпунову;

б) для любого  существует , что  при , когда .

Множество  всех , для которых  при  называют областью притяжения тривиального решения в начальный момент .

 

Если область  притяжения тривиального решения не ограничена (), то решение  называют асимптотически устойчивым в целом (глобально асимптотически устойчивым).

Определение 5. Тривиальное решение  ДУ (3) называют экспоненциально  устойчивым, если:

а) оно равномерно устойчиво асимптотически;

б) для любого  этого уравнения можно подобрать такую оценку, что выполняется неравенство

,

(4)

где .

Остановимся на основных моментах, лежащих в основе анализа устойчивости тривиального решения  приведённой системы (3), когда она может быть представлена в виде

,

(5)

где  - матрица Якоби первой производной  вектор - функции по векторному аргументу с элементами

,

(6)

- остаточный член, удовлетворяющий условию

.

(7)

  • · Линейное уравнение состояния

 

(8)

называют линеаризованной системой исходного уравнения (5) или уравнением первого приближения, если системная матрица  определена в виде (6). Условия асимптотической устойчивости тривиальных решений  систем (8) и (5) одинаковы. Они выполняются, если все собственные числа  матрицы  имеют отрицательные вещественные части. В этом случае свободные движения