3774 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Переходные процессы в линейных цепях первого порядка

 

1. Общие сведения

Переходными называются процессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима в другой. В установившемся режиме токи и напряжения в цепи не изменяют своего характера. Если в цепи действует постоянная э.д.с., тогда в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи также постоянные. Переход от одного установившегося режима к другому при наличии в цепи реактивных элементов L и C не происходит скачкообразно, так как магнитная  WL=I2L/2 и электрическая WE = U2C/2 энергии индуктивности и емкости не могут изменяться мгновенно.  Из непрерывности изменения магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля конденсатора вытекают два закона коммутации.

1. Ток через индуктивность в момент времени t=0 до коммутации равен току в момент времени t = 0+ после коммутации:

.

2. Напряжения на емкости до коммутации и после коммутации равны

.

Значения токов в индуктивности iL(0+) и напряжение на емкости Uc(0+) образуют независимые начальные условия.

Классический метод расчетов переходных процессов заключается в составлении интегродифференциальных уравнений на основе соотношений для мгновенных значений токов и напряжений  в R, L, C элементах

.

Порядок n дифференциального уравнения определяется числом независимых  реактивных элементов. Линейные цепи первого порядка содержат однотипные реактивные элементы (либо С, либо L). Примеры RC и RL цепей первого порядка показаны на рис. 1. Изменения токов и напряжений X(t) в элементах цепи находятся из решения дифференциального уравнения вида

.                                         (1)


где W(t) - внешнее воздействие. Общее решение X(t) дифференциального уравнения находится как сумма общего решения Xсв(t) однородного дифференциального уравнения (без правой части) и частного решения Xпр(t) неоднородного уравнения:

X(t) = Xпр(t) + Xсв(t).                                          (2)

Свободное решение Xсв(t) протекает в цепи без участия внешнего источника W(t), а принужденная составляющая  Xпр(t) протекает в установившемся режиме под действием W(t). Свободная составляющая уравнения (1) находится в виде

Xсв(t) = Аеpt,

где р =b0/b1 является корнем характеристического уравнения

b1p + b0 = 0,

Постоянная интегрирования А находится из начальных условий.

 

2. Переходные процессы в RC цепях

Схема подключения источника постоянного напряжения к RC цепи показана на рис. 2. В качестве независимой переменной берем напряжение на емкости Uc(t). При t=0 Uc(0)=0, начальные условия нулевые. Составим уравнение для нахождения Uc(t):

.               (3)

Общее решение уравнения имеет вид

. (4)

Из решения однородного уравнения находим

 

,

где τ=RC – постоянная времени цепи. Полагая t=∞, определяем значение принужденной составляющей Uпр=Е. Тогда для общего решения запишем

.

Используем начальные условия Uc(0)=Uc(0+)=0, Найдем постоянную . Окончательное выражение для напряжения на емкости принимает вид

.

Ток в цепи

.

Временные диаграммы токов и напряжений во время переходных процессов в RC цепи показаны на   рис. 3. В момент коммутации при t=0 емкость ведет себя как к.з. и ток в цепи i(0) =E/R. Далее, по мере заряда конденсатора, ток уменьшается по экспоненциальному закону. За время t=3t ток снижается до уровня i(3t)=0,05∙E/R.