3781 ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Цель работы: ознакомление с принципами моделирования случайных процессов и изучение основных закономерностей радиоактивного распада на числовой модели.

Приборы и принадлежности: персональный компьютер с операционной системой Windows 98 (ME, 2000, XP), программа моделирования радиоактивного распада.

Элементы теории

Как известно, ядра радиоактивных элементов испытывают превращения, сопровождаемые излучением, которое можно зарегистрировать счетчиком. Предположим, что вероятность распада ядра за время t равна P(t). Следовательно, вероятность того, что ядро не распадется за это время, будет равна Q(t) = 1–P(t). Так как вероятность распада в течение времени t не зависит от продолжительности существования до этого отрезка времени, то вероятность, что ядро существует в течение времени t+t0, будет равна произведению вероятностей для каждого из этих интервалов: Q(t+t0) = Q(t)Q(t0). Прологарифмировав это выражение, получим, что ln Q(t) есть аддитивная функция времени:

.

Обозначим , где λ – коэффициент пропорциональности, а знак минус свидетельствует о том, что чем больше интервал времени t, тем меньше вероятность не распасться. Таким образом, получим

,          .

Предположим, что в начальный момент было N0 радиоактивных атомов. Тогда среднее число оставшихся через время t будет

.                                        (1)

Это закон радиоактивного распада; величина λ называется постоянной распада. Легко показать, что постоянная распада связана с периодом полураспада T (временем, в течение которого в среднем распадается половина начального количества радиоактивных ядер) соотношением

.

Вероятность того, что некоторое ядро распадется в момент времени τ в интервале от t1 до t2, будет равна

.

Эту вероятность можно записать в виде интеграла

,

где величина  есть, по определению, плотность вероятности радиоактивного распада. Очевидно, что среднее время жизни радиоактивного атома определяется выражением

,

т.е. является величиной, обратной постоянной распада, и . Таким образом, выражение для плотности вероятности распада можно записать в виде

.

Рассмотрим ситуацию, когда имеется препарат с большим числом радиоактивных ядер, среднее время жизни которых велико по сравнению с временем наблюдения. Например, в одном микрограмме радия содержится порядка N = 3·1015 атомов; период полураспада радия T = 1600 лет или примерно 5·1010 с. Таким образом, при указанных данных среднее число распадов за секунду будет

.

Величина a называется активностью препарата. Ясно, что изменением числа радиоактивных ядер во время исследования, продолжающегося, скажем, несколько часов, можно пренебречь, т.к. при этом at<<N.

Найдем вероятность того, что при общем числе неустойчивых ядер N в данную секунду произойдет ровно k распадов, при условии, что среднее число распадов m и k не сильно отличается от m. Каждое ядро имеет вероятность P распасться и вероятность 1–P не распасться. Интересующее нас событие состоит в том, что k ядер распадется, а Nk не распадется. Значит, вероятность того, что распадется определенное количество k ядер, будет , а так как число комбинаций из k ядер в общем количестве N равно числу сочетаний из N по k, то вероятность интересующего нас события будет

.

Это так называемый биномиальный закон распределения вероятностей.

Рассмотрим, к чему приведут сделанные предположения о большом числе атомов и малой вероятности распада. В этом приближении

,

так как k<<N. Теперь возьмем натуральный логарифм от  и воспользуемся разложением , верным при x<<1:

,

или . В результате получим

.

А так как mNP есть среднее число распадов, окончательный результат можно записать в виде

.                                         (2)

Это распределение Пуассона, или распределение случайной величины, принимающей дискретные значения, при условии, что вероятность событий от опыта к опыту не изменяется. Таким образом, если мы будем регистрировать число распадов в секунду, то при выполнении условия at<<N распределение этих чисел должно соответствовать распределению Пуассона.