3789 ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1.  РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

«ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»                               1.1. Неопределенный интеграл
Первообразная функции, теорема о первообразной функ-ции.
Неопределенный интеграл: определение, свойства.
Интегрирование по частям, замена переменной в неопределенном интеграле, непосредственное интегрирование.
Рациональные дроби и рациональные выражения. Деле-ние многочленов, деление многочлена на двучлен; разложение многочлена на множители. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей в случае простых и кратных действительных корней знаменателя и в случае простых и кратных комплексных корней.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование рациональных выражений от тригонометрических функций, от иррациональных выражений.
1.2. Определенный интеграл
1.2.1. Задачи, приводящие к определенному интегралу. Интегральная сумма функции, определение определенного интеграла.
1.2.2.    Свойства определенного интеграла.
1.2.3.    Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница.
1.2.4.    Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям в определенном интеграле.
1.2.5.    Несобственные интегралы.
1.3. Приложения определенного интеграла
1.3.1. Вычисление площади криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат.
1.3.2.    Вычисление длины дуги, заданной уравнением в декартовой и полярной системах координат, и длин дуг, заданных параметрическими уравнениями.
1.4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка
1.4.1. Дифференциальные уравнения, общие понятия и определения.
1.4.2. Общее и частное решения (интеграл) дифференци-ального уравнения. Решение задачи Коши, геометриче-ский смысл общего и частного решения дифференциального уравнения.
1.4.3. Типы дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейные неоднородные дифференциальные уравнения; однород-ные дифференциальные уравнения; дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным; уравнение Бернулли.
1. 5.  Дифференциальные уравнения высших порядков
1.5.1. Дифференциальные уравнения, допускающие пони-жение порядка.
1.5.2. Линейные дифференциальные уравнения второго по-рядка: однородные дифференциальные уравнения; не-однородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка.
1.5.3. Линейные дифференциальные уравнения второго по-рядка с постоянными коэффициентами. Методы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
1.6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1.6.1. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решений нормальных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1.6.2. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решений неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений.
1.7. Операционное исчисление
Понятие функции-оригинала (оригинала). Преобразова-ние Лапласа (изображение). Существование изображения для функции-оригинала. Свойства изображения: линейность, подобие, дифференцирование оригинала и изображения, интегрирование оригинала и изображения, свертка функций и изображение свертки оригиналов, теорема Дюамеля. Приложение к решению дифференциальных уравнений и систем.
2.  ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
2.1. Неопределенный  и определенный интегралы
1.    Первообразная функции. Теоремы о первообразной.
2.    Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
3.    Таблица интегралов.
4.    Методы интегрирования: непосредственное интегрирова-ние, метод замены переменной, интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
5.    Интегрирование простейших дробей.
6.    Рациональные дроби. Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей.
7.    Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
8.    Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
9.    Интегрирование иррациональных выражений.
10.    Определенный интеграл. Задача о площади криволиней-ной трапеции.
11.    Интегральная сумма, определенный интеграл.
12.    Свойства определенного интеграла.
13.    Определенный интеграл с переменным верхним преде-лом.
14.    Формула Ньютона-Лейбница.
15.    Геометрический смысл определенного интеграла.
16.    Методы интегрирования в определенном интеграле: замена переменной и интегрирование по частям.
17.    Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры в декартовой и в полярной системах координат.
18.    Приложения определенного интеграла: вычисление дли-ны дуги плоской кривой для разных способов задания кривой.
19.    Несобственные интегралы I рода (интегралы с бесконечными пределами).
20.    Несобственные интегралы II рода (интегралы от разрыв-ных функций на промежутке интегрирования).
2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1.    Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, общие понятия и определения.
2.    Общее решение, общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка, частное решение дифференциального уравнения (решение задачи Коши). Геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения.
3.    Дифференциальные уравнения первого порядка с разде-ляющимися переменными.
4.    Однородные дифференциальные уравнения первого по-рядка и уравнения приводящиеся к однородным.
5.    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
2.2.2.    Дифференциальные уравнения высших порядков
1.    Общие понятия и определения.
2.    Общее решение, общий интеграл дифференциального уравнения n-го порядка.
3.    Уравнения вида  .
4.    Линейные однородные и неоднородные дифференци-альные уравнения, решения уравнения. Определитель Вронского, линейная зависимость и независимость ре-шений.
5.    Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, записанные в соответствии с корнями характеристического уравнения.
6.    Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
7.    Метод вариации произвольных постоянных. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
8.    Метод неопределенных коэффициентов решений неодно-родного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
2.2.3.    Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
1.    Общие понятия и определения. Нормальная система дифференциальных уравнений.
2.    Методы решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод сведения системы дифференциальных уравнений к одному уравнению соответствующего порядка.
3.    Метод Эйлера решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
4.    Решение неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2.2.4.    Операционное исчисление
1.    Понятие функции-оригинала (оригинала) и изображения (преобразования Лапласа).
2.    Свойства линейности изображения и подобия.
3.    Дифференцирование оригинала.
4.    Дифференцирование изображения.
5.    Интегрирование оригинала.
6.    Интегрирование изображения.
7.    Запаздывание оригинала, смещение изображения.
8.    Свертка функций, свойства свертки.
9.    Изображение свертки оригинала.
10.    Формула Дюамеля.
3. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.    Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. I, II: Наука, 1975, 1985, 2001.
2.    Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980, 1984, 1988, новые издания.
3.    Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. М.: Высшая школа, 1986, 2000.
4.    Свешников А.Г., Тихонов А.М. Теория функций комплексного переменного. М.: Наука.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА
«НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ»
4.1. Неопределенный интеграл
Темы 1.1, 1.2
Знать: определение первообразной, свойства первообразной, определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла. Таблицу основных интегралов.
Уметь: доказывать основные теоремы: о первообразной и некоторые свойства неопределенного интеграла.
Тема 1.3
Литература: [1], гл. Х, пп. 4-6; [3], задачи 1337-1351, 1352-1382, 1385-1402.
Знать: методы интегрирования в неопределенном интеграле.
Уметь: использовать известные методы для нахождения неопределенных интегралов.
Темы 1.4, 1.5
Литература: [1], гл. Х. пп. 7-9;
[3], задачи 1408-1440.
Знать: определение простейших дробей, нахождение интегралов от простейших дробей, метод разложения дроби (правильной и неправильной) на сумму простейших дробей.
Уметь: находить неопределенные коэффициенты разложения правильной дроби на простейшие и пользоваться методами интегрирования простейших дробей.
Тема 1.6
Литература: [1], гл. Х, пп.10-13;
[3], задачи 1444-1462, 1472-1505.
Знать: виды тригонометрических подстановок и способ выделения полного квадрата в многочлене второго порядка, метод замены переменной.
Уметь: пользоваться универсальной тригонометрической подстановкой (в необходимых случаях), подстановками других типов при интегрировании.