3614 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Лабораторная работа № 2

 

Цель работы

 

Изучение методов цифрового спектрального анализа  сигналов в гармоническом базисе, ознакомление с существующими алгоритмами дискретного преобразования Фурье, оценка возникающих погрешностей и их качественный визуальный контроль.

1. Краткие теоретические сведения

1.1. Дискретное преобразование Фурье

 

Рассмотрим некоторый аналоговый непериодический сигнал  и соответствующий ему сплошной спектр  (рис. 1).

 

Рис. 1. Непрерывный сигнал и соответствующий ему спектр

 

Если сигналы обрабатываются с помощью цифровых методов, то приходится прибегать к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ). Запишем спектр дискретизированного сигнала:

.                            (1)


Этот спектр сплошной, но повторяющийся с периодом  (рис. 2).

Рис. 2. Дискретизированный сигнал и его спектр

 

Для осуществления цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временной, но и в частотной области. Это означает, что сплошной спектр  должен быть представлен совокупностью своих значений  на дискретных частотах.

Подобный спектр получается из сплошного  при периодическом повторении  последовательности  с периодом . Интервал между соседними спектральными линиями , т.е. дискретному спектру соответствует периодически повторяющийся сигнал (рис. 3.).

Рис. 3. Дискретный спектр и соответствующий ему сигнал

 

Подставляя в выражение (1)  , получаем следующее соотношение для прямого ДПФ:

 

Для обратного ДПФ формула имеет вид

 

В этих выражениях N - количество отсчетов сигнала. При этом получается и  N частотных отсчетов.

 

1.2. Свойства ДПФ

 

  1. Свойство периодичности: ДПФ формирует периодический спектр, а ОДПФ – периодический сигнал.   Обычно на графиках спектр  изображают в диапазоне изменения частоты от 0 до .
    1. Свойство симметрии: при четном  N и действительном

 

В частности, при  , т.е.  - действительное число. - тоже действительное число, т.к. .

3. Линейность. Если  и  есть ДПФ  и , то ДПФ , где  и   - произвольные константы, равно .

4. Сдвиг. Пусть   ДПФ , а    получают из    путем сдвига (в случае конечной последовательности – кругового сдвига) на  отсчетов. Тогда ДПФ   равно . Аналогичный результат справедлив для сдвига коэффициентов ДПФ. Если    и   есть ДПФ    и   соответственно и , то .

 

1.3. Особенности практического использования ДПФ

 

При использовании ДПФ чаще всего возникают три проблемы: появление ложных спектральных составляющих, замывание спектральных составляющих, паразитная амплитудная модуляция спектра (искажение). Рассмотрим эти явления подробнее.

1. Появление ложных спектральных составляющих (рис. 4) – это явление, при котором высокочастотные компоненты функции времени могут быть приняты за низкочастотные. Причина – недостаточная частота дискретизации (неправильный выбор ).

 

Рис. 4. Появление ложных спектральных составляющих

 

2. Размывание спектральных составляющих. Это явление возникает из-за того, что анализируется ограниченный массив данных. Отбрасывается все, что происходит до и после периода наблюдений, что эквивалентно умножению сигнала на прямоугольную выделяющую функцию с соответствующим изменением спектра (рис. 5).

 

Рис. 5. Размывание спектральных составляющих:

а – непрерывный сигнал и его спектр; б – прямоугольная выделяющая функция и ее спектр; в – результирующий сигнал и его спектр

 

Стандартный способ уменьшения этого явления – умножение сигнала на такую выделяющую функцию, которая имеет меньшие боковые лепестки. Однако снижение уровня боковых лепестков дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что приводит к ухудшению разрешения. Следовательно, необходим какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем подавления боковых лепестков. Существует  много выделяющих функций, обладающих различными свойствами.

3. Паразитная амплитудная модуляция спектра.  Каждому коэффициенту Фурье соответствует фильтр с частотной характеристикой  вида  (рис. 6, а). Это справедливо для случая прямоугольной выделяющей функции.

Главные лепестки представляют собой    независимых фильтров. Входной сигнал  с частотой, кратной , пройдет через соответствующий фильтр без изменений. Другие фильтры его подавят.

Эффект паразитной модуляции проявляется, когда вычисляются спектральные составляющие на частотах, не совпадающих с частотами, кратными . В наихудшем случае, когда рассчитывается сигнал между фильтрами, его уровень равен 0,647. Избежать этого эффекта можно двумя путями:

-   рассчитывать спектры на частотах, кратных частоте ;

-   если необходимо вести расчеты и на других частотах, то массив из  исходных данных дополняют  нулями, т.е. увеличивают период повторения исходного сигнала. При этом  число фильтров ДПФ увеличивается, а расстояние  между центральными частотами уменьшается (рис. 6 б)

.

Полоса пропускания фильтра не изменяется, т.к. она определяется величиной .

При = передаточные функции  имеют вид:

 


;

 

 

 

.

 

Рис. 6. Частотная характеристика ДПФ:

а -  отсчетов; б -  отсчетов и   нулей

 

1.4. Быстрое преобразование Фурье

 

Алгоритм ДПФ имеет существенный недостаток: большое число вычислительных операций. Для вычисления всех   спектральных коэффициентов требуется    умножений  и столько же сложений.

Поэтому на практике часто применяют быстрое преобразование Фурье (БПФ). Суть этого алгоритма заключается в многократном членении заданной последовательности временных отсчетов на более короткие последовательности. Поясним достигаемый при этом выигрыш на примере одного первого разбиения.

Пусть задана последовательность отсчетов , , причем , где  - целое число. Разобьем эту последовательность на две последовательности, содержащие соответственно четные отсчеты  и  нечетные отсчеты . Введем обозначение . С учетом равенств ;   для четной последовательности отсчетов ДПФ имеет вид:

 

Для нечетной последовательности отсчетов ДПФ имеет вид:

 

Фазовый множитель   перед второй суммой учитывает задержку последовательности  на один интервал относительно последовательности .

Спектры  и  также периодические, но с периодом .

Найдем результирующий спектр. Для частот  учтем периодичность спектров =; =. Кроме того, надо учитывать перемену знака перед фазовым множителем при  :

,

т.к. .

В результате получаем выражение для вычисления всей последовательности отсчетов спектра:

(2)

Это основное расчётное соотношение для БПФ. Спектр   содержит    спектральных отсчетов на интервале одного периода по оси .

Подсчитаем число операций, необходимых для получения  спектральных коэффициентов при использовании этого метода. Для вычисления функций  и  требуется  умножений отсчетов   на комплексные коэффициенты  . Кроме того, требуется   умножений  на коэффициент . Всего требуется  умножений, т.е. почти в два раза меньше, чем при использовании алгоритма ДПФ.

Разбиением каждой последовательности можно осуществить дальнейшее уменьшение объема вычислений. Разбиения следует продолжать вплоть до получения простейших двухэлементных последовательностей. Определив ДПФ указанных простейших пар отсчетов, можно найти ДПФ 4-элементных, 8-элементных последовательностей и т.д. При объединении ДПФ двух последовательностей можно пользоваться алгоритмом (2), подставляя в него соответствующие значения  и .

Подсчитаем суммарное число операций. При каждом разбиении последовательности на две более короткие требуется  умножений. При числе разбиений  общее число операций умножения . А для прямого вычисления ДПФ требуется  умножений. Тогда коэффициент ускорения вычислений (К.У.В.):

К.У.В.=.

Столь большое сокращение числа операций резко уменьшает объем аппаратуры и повышает быстродействие цифровых устройств.