3628 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ

Лабораторная работа № 1

 

Цель работы

 

Изучение методов дискретизации и квантования сигналов, ознакомление с правилами выбора основных параметров устройств дискретизации и квантования, оценка возникающих погрешностей и их качественный визуальный контроль.

 

1. Краткие теоретические сведения

1.1. Дискретизация сигналов

 

1.1.1. Принцип дискретизации по времени заключается в том, что непрерывный сигнал  заменяется последовательностью его мгновенных значений  (отсчетов) (рис.1), взятых в определенные дискретные моменты времени , где k = 0, 1, 2, …, и разделенных промежутками времени .

 

 

При такой замене из рассмотрения исключается всё множество значений , находящихся внутри интервала . Если  - const, то дискретизация называется равномерной с периодом . В общем случае положение отсчетов может быть неравномерным. Например, они могут сгущаться и разряжаться в соответствии со скоростью изменения сигнала. Это адаптивная дискретизация. Наибольшее распространение получила равномерная дискретизация из-за простоты технической реализации.

В основе математического описания дискретизации непрерывных функций лежит так называемая импульсная функция дискретизации   ,    где  - дельта-функция.

Дискретизация непрерывной функции времени  с математической точки зрения представляет собой умножение  на :

.

Используя фильтрующее свойство - функции

,

можно записать . То есть умножение  на единичный -импульс соответствует получению отсчета функции  в момент времени .

Тогда окончательно для дискретной функции имеем:

.

На практике дискретизация реализуется с помощью ключевых схем.

При дискретизации по времени возникают задачи, связанные с выбором интервала и восстановлением исходного сигнала на выходе по его отсчетам. Решение этих задач зависит от вида дискретизируемого сигнала.

Сложность задачи выбора интервала дискретизации состоит в том, что необходимо учитывать свойства обрабатываемых сигналов, способ восстановления этих сигналов по отсчетам, требуемую точность восстановления.

● Непрерывные реальные сигналы являются, как правило, нестационарными случайными процессами, которые характеризуются всей совокупностью возможных реализаций. Однако часто возможно считать такой сигнал стационарным или кусочно-стационарным.  Кроме того, часто полагают сигнал еще и эргодическим, что дает возможность работать не с ансамблем реализаций случайного сигнала, а только с одной его реализацией.  При условии  ( - длительность интервала обработки сигнала; - ширина его спектра) погрешностями из-за такого предположения можно пренебречь.

● Сигнал обычно характеризуют либо энергетическим спектром, либо его корреляционной функцией. Энергетический спектр  может быть выражен через спектр сигнала . Если амплитудный спектр одной из реализаций сигнала  равен , то энергетический спектр  ,

где - символ математического ожидания.

●  На дискретизируемый процесс часто накладывают ограничения:

- конечное значение средней мощности процесса

;

- конечная шкала мгновенных значений ;

- ограничение спектра по полосе. Спектральная плотность любого реального сигнала уменьшается с ростом частоты. Начиная с некоторой частоты, спектральная плотность сигнала становится меньше спектральной плотности помех и шумов. Эта часть спектральной плотности сигнала почти не вносит вклада в полезную информацию и ею можно пренебречь. Ограничение спектра сообщения частотой  приводит к ошибке, относительная величина среднего квадрата которой равна

.

Эту величину можно трактовать как отношение средней мощности сигнала (или энергии), содержащейся в отброшенной части спектра (хвосте),  к средней мощности всего сигнала  (или энергии всего сигнала). Таким образом, в качестве модели сигнала часто выбирают случайный квазистационарный процесс, имеющий конечную протяженность во времени и ограниченный энергетический спектр.

Из теории преобразования Фурье известно, что условия ограниченности по времени существования и по спектру одновременно выполняться не могут, т.е. модель некорректна.  Однако погрешности, возникающие при этом, невелики, если разумно ограничивать ширину спектра сигнала.

 

1.1.2.  Выбор интервала дискретизации  основан на предельной дискретизации по времени непрерывных сигналов с ограниченным спектром. Проблема предельной дискретизации сложна и далека от завершения. Наиболее разработанной предельной дискретизацией является дискретизация, основанная на теореме Котельникова. Результатом доказательства теоремы является выражение:

,                                      (1)

где  - базисная функция;.

Если у сигнала длительностью  ограничить спектр на частоте , то в соответствии с теоремой Котельникова можно образовать число отсчетов .

В этом случае ряд (1) будет содержать конечное число членов, т.е.

.

При конечном числе членов этого ряда их сумма точно совпадает с мгновенными значениями функции только в точках отсчетов . В интервалах между отсчетами функции  и  различаются. Среднеквадратичная погрешность по этой причине равна

.

Уменьшить эту погрешность можно, увеличив число отсчетов.

Общая среднеквадратическая ошибка при дискретизации непрерывного сигнала равна сумме двух ошибок вследствие их независимости:

.

1.1.3. Восстановление непрерывной функции времени конечной длительности выполняется в соответствии с выражением (1).  Эта процедура может выполняться двумя способами: фильтрационным и интерполяционным.

При использовании фильтров последовательность отсчетов подается на фильтр нижних частот (ФНЧ).  Напряжение на выходе фильтра определяется суперпозицией откликов на каждый поступающий отсчет. Необходимо применять ФНЧ, импульсная переходная характеристика (ИПХ) которого должна иметь вид:

.

Такой ИПХ соответствует ФНЧ с прямоугольной частотной характеристикой. Физически реализация такого фильтра возможна только с какой-либо степенью приближения, что вызовет дополнительную ошибку.

При интерполяционном способе восстановления необходимо создать  функций вида

.

Затем необходимо просуммировать их с весами, равными значениям отсчетов. Технически это достаточно сложная операция, так как необходимо помнить отсчетов и генерировать также  функций .

Предельная дискретизация и восстановление сигналов в соответствии с теоремой Котельникова не находят практического применения. Основная ценность этой теоремы в том, что она определяет принципиальную возможность дискретизации.

 

1.1.4. Специфические искажения при восстановлении непрерывных сигналов возникают в ряде случаев, когда сигнал имеет разрывы первого рода. Например, при восстановлении последовательности прямоугольных импульсов суммирование ряда гармонических функций разложения сигнала в ряд Фурье дает наклонный участок. С увеличением числа членов ряда наклон этого участка возрастает. В результате этого в  окрестностях точек разрыва сумма ряда Фурье дает заметные пульсации, причем амплитуда этих пульсаций не уменьшается с увеличением числа суммируемых гармоник (частоты дискретизации), а уменьшается только их длительность, приближаясь к точке разрыва. Амплитуда самого большого (первого) выброса составляет около 9 % от величины скачка сигнала. Это явление называется эффектом Гиббса.

Эффект Гиббса проявляется и при попытке создания фильтров с АЧХ, имеющими скачкообразные участки. Для уменьшения этого эффекта применяются ограничения на предельное отклонение АЧХ  от заданной.

 

1.1.5. На практике дискретизация по времени непрерывных сигналов  обычно производится с учетом реальных способов  восстановления. Широкое применение получил метод восстановления с помощью интерполяционного многочлена:

,

где  - отсчеты исходной функции;

- значения, полученные с помощью интерполяции, .

Наибольшее распространение находит интерполяция нулевого, первого, второго порядков (ступенчатая, линейная, параболическая) соответственно для 0, 1 или 2.

Применение простых способов интерполяции требует выбора более высокой частоты дискретизации, чем это следует из теоремы Котельникова. Основываясь на результатах теории интерполяции, можно показать, что

- для ступенчатой интерполяции ,

где ,