3636 КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ

Вариант № 1

1. Выяснить, образует ли группу множество целых чисел, делящихся на натуральное число n относительно сложения (умножения).

2. Доказать, что конечное множество G, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция и каждое из уравнений ах = b, уа = b для любых а и b из G имеет в G не более одного решения, будет группой.

3. Доказать, что, если Н – конечное множество элементов группы G и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы G.

4. Найти смежные классы мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе чисел, равных по модулю единице.

5.Выяснить, является ли множество целых чисел, делящихся на натуральное число n, кольцом или областью целостности, или полем, или модулем над Z, или линейным пространством, или Z-алгеброй относительно сложения и умножения чисел.

6. Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем. А если элемент один?

7. Доказать, что любая конечная подгруппа G мультипликативной группы поля Р является циклической. Например, мультипликативная группа поля Zp вычетов кольца целых чисел Z по простому модулю р и группы Gn корней n-й степени из 1 являются циклическими.

8. Доказать, что идеал (а) существует для любого элемента а R – коммутативное кольцо - и состоит из всех элементов вида: yа + , где yлюбой элемент из R и n — любое целое число, если R не имеет единицы.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 2

1. Доказать, что знакопеременная группа пятой степени является простой.

2. Пусть G мультипликативная группа всех комплексных чисел, отличных от нуля, и Н множество всех чисел из G, лежащих на действительной и мнимой осях. Доказать, что фактор-группа G/H изоморфна мультипликативной группе U всех комплексных чисел, равных по модулю единице.

3. Доказать, что если G = А + В1 = А + В2прямые разложения абелевой группы G и если В1 содержит В2, то В1 =В2.

4. Обозначим через G(n1,n2,...,ns) прямую сумму циклических групп порядков соответственно n1,n2,...,ns. Из теории конечных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде G(n1,n2,...,ns), где числа ni равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы порядка 36.

5.Выяснить, является ли множество четных чисел кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения чисел.

6. Показать, что скалярные матрицы порядка n с действительными элементами при обычных операциях образуют поле, изоморфное полю действительных чисел.

7. Существуют многочлены с целыми коэффициентами, не приводимые над полем рациональных чисел, но приводимые над полем вычетов по любому простому модулю р. Доказать, что таким будет, например, многочлен f(x)= х410x2 + 1. Этот многочлен — многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, имеющий корень а =  + .

8. Доказать, что идеал (М) существует для любого непустого множества М Ì R – коммутативное кольцо - и состоит из всех конечных сумм вида:    если R имеет единицу.

 

Вариант № 3

1. Выяснить, образуют ли группу корни n-й степени из единицы (как действительные, так и комплексные) относительно умножения.

2. Доказать, что для любых элементов а, b, с группы G элементы abc, bca и cab имеют одинаковый порядок.

3. Пусть G = {а}конечная циклическая группа порядка n. Доказать, что для любого делителя d числа n существует единственная подгруппа Н группы G, имеющая порядок d.

4. Доказать, что элементы группы G, перестановочные с данным элементом а, образуют подгруппу N(a) группы G (нормализатор а в G), содержащую циклическую подгруппу {а} в качестве нормального делителя.

5. Выяснить, является ли множество целых чисел, кратных данному числу n (рассмотреть, в частности, случай n = 0), кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения чисел.

6. Показать, что матрицы вида ,

где аиb – действительные числа, образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.

7. Доказать, что если все элементы коммутативного кольца R имеют общий делитель а, то это кольцо обладает единицей.

8. Доказать, что идеал (М) существует для любого непустого множества М R – коммутативное кольцо - и состоит из всех конечных сумм вида: åri ai + åni ai;

ri R; ai M; ni – целые числа, если R не имеет единицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 4

1. Выяснить, образуют ли группу четные (нечетные) целые (натуральные) числа относительно сложения (умножения).

2. Доказать, что если а2 = е для любого элемента а группы G, то эта группа абелева.

3. Доказать, что если все элементы множества Н группы G имеют конечные порядки и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы G.

4. Найти смежные классы мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных действительных чисел.

5. Выяснить, является ли множество рациональных чисел кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения чисел.

6. Доказать, что алгебра вещественных матриц вида

 

изоморфна алгебре кватернионов а + bi+ cj + dk.

7. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент а ≠ 0 со свойством а2 = 0.

8. Доказать, что кольцо Z целых чисел является кольцом главных идеалов. Будет ли таковым кольцо многочленов Z[x]?

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 5

1 Доказать, что группа G' тогда и только тогда является гомоморфным образом конечной циклической группы G, когда G' также циклическая и ее порядок делит порядок группы G.

2. Пусть G мультипликативная группа комплексных чисел, отличных от нуля, Н - множество чисел из G, лежащих на п лучах, выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью, К аддитивная группа  всех действительных чисел, Z аддитивная группа целых чисел, D – мультипликативная группа положительных чисел, U – мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице, Unмультипликативная группа корней n-й степени из единицы. Доказать, что K/Z изоморфна U.

3. Доказать, что подгруппа Н абелевой группы G тогда и только тогда будет слагаемым в прямом разложении G = Н + К, когда существует гомоморфное отображение G на Н, сохраняющее на месте все элементы из Н.

4. Обозначим через G(n1,n2,...,ns) прямую сумму циклических групп порядков соответственно n1,n2,...,ns. Из теории конечных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде G(n1,n2,...,ns), где числа п i равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы порядка 48.

5. Выяснить, является ли множество действительных чисел кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения чисел.

6. Доказать, что алгебра матриц вида с действительными a,b,c,d и i = изоморфна алгебре кватернионов

а + bi+ cj + d k.

7. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент а ≠ 0. Для данного целого числа n > 1 выполнены условия

ап = 0; ak0, если 0 < k < п.

8. Доказать, что кольцо Р[х] многочленов от одного неизвестного х над полем Р является кольцом главных идеалов.

 

 

 

Вариант № 6

1. Выяснить, образует ли группу множество целых чисел, кратных данному натуральному числу n, относительно сложения.

2. Доказать, что группа корней n-й степени из единицы является единственной мультипликативной группой n-го порядка с числовыми элементами, отличной от {0}.

3. Доказать, что в любой группе подстановок, содержащей хотя бы одну нечетную подстановку, число четных подстановок равно числу нечетных.

4. Найти смежные классы мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе действительных чисел.

5. Выяснить, является ли множество комплексных чисел кольцом (но не полем) или полем сложения и умножения.

6. Найти все автоморфизмы (т.е. изоморфные отображения на себя) поля комплексных чисел, оставляющие неизменными действительные числа.

7. Пусть Rкоммутативное кольцо с единицей е. Доказать, что обратимый элемент (т. е. делитель единицы) не может быть делителем нуля.

8. Доказать, что кольцо А целых гауссовых чисел является кольцом главных идеалов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 7

1. Доказать, что если группа G гомоморфно отображена на группу G', причем элемент а из G отображается на а' из G', то порядок а делится на порядок a'.

2. Пусть G мультипликативная группа комплексных чисел, отличных от нуля, Н множество чисел из G, лежащих на п лучах, выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью, К аддитивная группа  всех действительных чисел, Z аддитивная группа целых чисел, D – мультипликативная группа положительных чисел, U – мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице, Unмультипликативная группа корней n-й степени из единицы. Доказать, что G/D изоморфна U.

3. Доказать, что если G = А + В – прямое разложение группы G, то фактор-группа G /А изоморфна В.

4. Обозначим через G(n1,n2,...,ns) прямую сумму циклических групп порядков соответственно n1,n2,...,ns. Из теории конечных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде G(n1,n2,...,ns), где числа п i равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы порядка 60.

5. Выяснить, является ли множество чисел вида

а + bс целыми а и b кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения.

6. Доказать, что любое числовое поле содержит в качестве подполя поле рациональных чисел.

7. Пусть Rкоммутативное кольцо с единицей е. Доказать, что обратимый элемент имеет единственный обратный элемент.

8. Доказать, что сумма любого конечного числа идеалов есть идеал, сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямой суммой, когда пересечение их содержит только нуль.

 

 

 

 

Вариант № 8

1. Пусть G мультипликативная группа комплексных чисел, отличных от нуля, Н множество чисел из G, лежащих на п лучах, выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью, К аддитивная группа всех действительных чисел, Z аддитивная группа целых чисел, D – мультипликативная группа положительных чисел, U – мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице, Unмультипликативная группа корней n-й степени из единицы. Доказать, что G/U изоморфна D.

2. Пусть G = A1 + А2 +…+ As – разложение абелевой группы G в прямую сумму подгрупп и х = a1 +a2 + …+ as,      ai Аi,      i = 1,2, ...,s, – соответствующее разложение элемента х в сумму компонент. Доказать, что группа G тогда и только тогда имеет конечный порядок n, когда каждая подгруппа Аi имеет конечный порядок ni, i = 1,2,..., s, причем n = n1, n2,…, ns.

3. Обозначим через G(n1,n2,...,ns) прямую сумму циклических групп порядков соответственно n1,n2,...,ns. Из теории конечных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде G(n1,n2,...,ns), где числа п i равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы порядка 63.

4. Найти порядок перестановки

.

5. Выяснить, является ли множество чисел вида а + b с рациональными а и b.кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения.

6. Доказать, что при любом изоморфизме числовых полей подполе рациональных чисел отображается тождественно. В частности, поле рациональных чисел допускает лишь тождественное изоморфное отображение в себя.

7. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей е. Доказать, что если δ, ε обратимы, то а делится на b тогда и только тогда, когда аδ делится на .

8. Доказать, что сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямой суммой, когда пересечение их содержит только нуль.

 

 

 

Вариант № 9

1. Выяснить, образуют ли группу степени данного действительного числа а, а 0, ±1, с целыми показателями относительно умножения.

2. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка 3. Написать таблицы умножения этих групп и представить эти группы в виде групп подстановок.

3. Доказать, что в любой группе подстановок, содержащей хотя бы одну нечетную подстановку, четные подстановки образуют нормальный делитель.

4. Найти смежные классы симметрической группы Sn по подгруппе подстановок, оставляющих число n на месте.

5. Доказать, что если группа G гомоморфно отображена на группу G', причем элемент а из G отображается на а' из G', то порядок G делится на порядок G'.

6. Выяснить, является ли множество комплексных чисел вида а + bi с целыми а и b кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения.

7. Доказать, что тождественное отображение является единственным изоморфным отображением поля действительных чисел в себя.

8. Пусть Rкоммутативное кольцо с единицей е. Доказать, что главный идеал (а) элемента а из R тогда и только тогда отличен от R, когда а необратим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 10

1. Выяснить, образует ли группу неотрицательные целые числа относительно сложения.

2. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка 4. Написать таблицы умножения этих групп и представить эти группы в виде групп подстановок.

3. Доказать, что в любой группе подстановок, содержащей хотя бы одну нечетную подстановку, все простые группы подстановок n элементов порядка больше 2 содержатся в знакопеременной группе Ап (простой называется группа, не имеющая нормальных делителей, кроме себя самой и единичной подгруппы).

4. Доказать, что подгруппа Н порядка k конечной группы G порядка 2k содержит квадраты всех элементов группы G.

5. Выяснить, является ли множество комплексных чисел вида а + bi с рациональными а и b кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения.

6. Доказать, что минимальное подполе любого поля характеристики нуль изоморфно полю рациональных чисел.

7. Пусть Rкоммутативное кольцо с единицей е и без делителей нуля. Доказать, что элементы а, b тогда и только тогда ассоциированы, когда каждый из них делится на другой.

8. Пусть R = I1 + I2 — разложение коммутативного кольца R с единицей е в прямую сумму ненулевых идеалов I1 , I2. Доказать, что если е = e1 + е2; e1 I1 ; е2 I2, то e1 ,e2 будут единицами соответственно в I1 , I2 , но не в R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 11

1. Найти все гомоморфные отображения циклической группы {а} порядка п в себя.

2. Пусть G мультипликативная группа комплексных чисел, отличных от нуля, Н множество чисел из G, лежащих на п лучах, выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью, К аддитивная группа всех действительных чисел, Z аддитивная группа целых чисел, D – мультипликативная группа положительных чисел, U – мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице, Un мультипликативная группа корней n-й степени из единицы. Доказать, что U/Un изоморфна U.

3. Пусть G = A1 + А2 +…+ As – разложение абелевой группы G в прямую сумму подгрупп и х = a1 +a2 + …+ as, ai Аi,

i = 1,2, ...,s, – соответствующее разложение элемента х в сумму компонент. Доказать, что элемент х тогда и только тогда имеет конечный порядок р, когда каждая его компонента аi имеет конечный порядок рi, i = 1,2,...,s, причем р равно наименьшему общему кратному чисел p1, p2,…, ps.

4. Обозначим через G(n1,n2,...,ns) прямую сумму циклических групп порядков соответственно n1,n2,...,ns. Из теории конечных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде G(n1,n2,...,ns), где числа п i равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы порядка 72.

5. Выяснить, являются ли матрицы порядка n с целыми элементами кольцом (но не полем) или полем относительно сложения и умножения матриц.

6. Доказать, что минимальное подполе любого поля характеристики р изоморфно полю вычетов по модулю р.

7. Пусть G = {а}конечная циклическая группа порядка n. Доказать, что порядок любой подгруппы группы G делит порядок группы G.

8. Доказать, что фактор-кольцо кольца D [х] многочленов с действительными коэффициентами по идеалу многочленов, делящихся на x2 + 1, изоморфно полю комплексных чисел а + bi с операциями сложения и умножения, определяемыми по известным из школы правилам.