3648 ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение законов колебательного движения на примере физического маятника.

Приборы и принадлежности: маятник универсальный ФПМ04.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.

По физической природе изменяющейся величины колебательные процессы разделяют на механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.

Механические колебания – колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука; электромагнитные – колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов  и  электрической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля; электромеханические – колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя и т.п.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Любые колебания могут быть свободными или вынужденными.

Свободными колебаниями (собственными колебаниями) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.

Вынужденные колебания - колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Если физическая величина  изменяется со временем по гармоническому закону:

,                                                       (1) то колебания называются гармоническими. Здесь  - амплитуда колебаний;  - круговая частота ( - период;  - время;  - начальная фаза колебаний; () – фаза колебаний.

Функция  в (1) представляет собой решение дифференциального уравнения:

,                                                 (2) называемого уравнением свободных колебаний. Физический смысл параметров  и  выяснится ниже.

Физическую систему, выведенную из состояния равновесия и предоставленную самой себе, в которой изменение одного из параметров описывается дифференциальным уравнением  (2), называют классическим гармоническим осциллятором.

Обсудим некоторые реализации гармонических осцилляторов, изучаемых ниже.

I. Пружинный маятник – грузик (рис. 1) массой  без трения скользит под действием упругой силы пружины по горизонтальной плоскости. Горизонтальное смещение грузика при его движении обозначим . Колебания пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при смещении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смещению и направлена в сторону

Рис. 1

положения равновесия. Для пружинного маятника условие малости колебаний удовлетворяется при смещениях, создающих возвратную силу у пружины в пределах применимости закона Гука. Коэффициентом жесткости  пружины называют отношение силы , растягивающей пружину, к ее удлинению , т.е. . Уравнение движения пружинного маятника имеет вид:

(3)

Сравнивая с (2) имеем:

.                                       (4)

II. Физический маятник – любое твердое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Движение маятника описывается уравнением:

,                                                      (5) где  - момент инерции маятника;  - угол отклонения маятника от положения равновесия;  - время; - момент силы, действующей на маятник.

В данной работе в качестве физического маятника используется однородный стальной стержень длиной . На стержне закреплена опорная призма, острое ребро которой является осью качания маятника. Призму можно перемещать вдоль стержня, меняя таким образом, расстояние  от точки опоры маятника до его центра масс. Пусть это расстояние равно  (рис. 2). Тогда по теореме Штейнера момент инерции маятника:

,                         (6) где  - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину; - масса маятника.                                                                      Рис. 2

Момент силы тяжести, действующей на маятник:

.                                                    (7) Знак «минус» обусловлен тем, что направления возвращающей силы и  всегда противоположны. Если угол  мал, то . Тогда

.                                                           (8)

В исправной установке маятник совершает несколько сот колебаний без заметного затухания. Поэтому моментом силы трения в первом приближении можно пренебречь. Подставляя выражения для  и  в (5), получаем уравнение:

,                                                        (9) где

.                                                (10)

Легко убедиться, что решением этого уравнения является функция:

.                                           (11) Амплитуда  и фаза  зависят от того, как возбуждаются колебания маятника, т.е. определяются начальными условиями задачи, а циклическая частота колебаний  согласно (10) определяется только параметрами маятника  и .

Период колебаний  равен:

.                                           (12)

Мы видим, таким образом, что период колебаний физического маятника не зависит ни от фазы, ни от амплитуды колебаний. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнению (9). Движение маятника описывается этим уравнением приближенно – в той мере, в какой справедлива использованная при выводе (9) формула . Исследование правильности утверждения о том, что период колебаний маятника не зависит от амплитуды, является чувствительным методом проверки теории. Как известно, период колебаний математического маятника определяется формулой:

,                                                 (13) где  - длина математического маятника.