3681 ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Лабораторная работа № 1

 

Исследование временных и  частотных

характеристик типовых динамических звеньев

 

Цель работы: изучение возможностей комплекса MATLAB+ Simulink для  исследования  временных и частотных  характеристик динамических звеньев.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Временные характеристики динамических звеньев

Для математического описания работы систем автоматического регулирования (САР) их разбивают на динамические звенья. Динамическим звеном называется часть системы, описываемая дифференциальным уравнением определенного типа. В соответствии с этим определением все звенья вне зависимости от принципа их организации делятся на три типа: статические, интегрирующие и дифференцирующие звенья. В каждой из этих групп выделяют типовые динамические звенья, т.е. те, которые описываются дифференциальным уравнением  не выше второго порядка. Для описания работы звеньев используются кроме дифференциальных уравнений передаточные функции W(s), временные и частотные характеристики [1, 2].

Временной характеристикой звена называется закон изменения выходной величины x2(t) от времени при изменении внешнего воздействия x1(t) по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое. В случае, если это воздействие является единичной ступенчатой функцией x1(t) = 1(t), которая при моделировании задается блоком Step [3], то такая характеристика называется переходной функцией звена x2(t) = h(t).

Функцией веса (импульсной функцией) звена x2(t) = w(t) называется его реакция на единичную импульсную функцию (дельта-функцию)   x1(t)=d(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции.

Замечание. При моделировании функция веса может быть найдена путем подачи на вход звена единичной ступенчатой функцией (блок Step) и установки на выходе звена дифференциатора (блок Derivative категория Continuous).

Временными характеристиками удобно пользоваться при определении характера переходного процесса в САР. Временные характеристики основных динамических звеньев приведены в [1, 2].

1.2. Частотные характеристики динамических звеньев

В реальных системах очень часто входной сигнал изменяется по гармоническому закону заданной амплитуды и частоты. При этом возникает необходимость нахождения параметров колебаний на выходе системы при известных на входе. Решение этой задачи с помощью временных характеристик представляет определенные трудности. Частотный метод позволяет получить реакцию звена или системы на любой периодический сигнал.

Пусть на вход звена с передаточной функцией W(s) поступает сигнал, изменяющийся по гармоническому закону , где A1 - амплитуда, w - круговая частота. На выходе линейного звена после окончания переходного процесса будет также гармонический сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и начальной фазой , где

A2 = A1½W(jw)½,                                            (1.1)

y = arg W(jw),                                               (1.2)

.                           (1.3)

Функция (1.3) может быть представлена в нескольких видах. В показательном виде она выглядит следующим образом:

 

где ;

в алгебраическом виде - как

,

где

Функция A(w) называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), функция y(w) - фазовой частотной характеристикой (ФЧХ), функции U(w) и V(w) - вещественной и мнимой частотными характеристиками звена.

В координатах (U, jV)  строится амплитудно-фазовая частотная характеристика звена (АФЧХ). Для каждой фиксированной частоты w=wi от 0 до ¥ на оси абсцисс откладывается вещественная часть U(w), по оси ординат - мнимая часть V(w). Полученные точки затем соединяются плавной линией. Такая кривая называется годограф.

Для вычисления значений A(w), y(w), V(w) и U(w) представим (1.3) в виде

(1.4)

где Uч и Uз - действительные части числителя и знаменателя;

Vч и Vз - мнимые части числителя и знаменателя.

Тогда

;

 

 

 

При практических расчетах предпочтительно пользоваться выражениями для A(w) и y(w), т.к. они проще и могут быть получены экспериментально. Модуль определяется как   а аргумент y(w) - как разность фаз между выходным и входным сигналами.

1.3. Логарифмические частотные характеристики звеньев

Частотные методы исследования САР существенно упростятся, если для построения графиков частотных характеристик ввести логарифмические шкалы. Характеристики A(w), y(w), построенные в логарифмических шкалах называются соответственно логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАЧХ), логарифмической фазовой характеристикой (ЛФЧХ).

Логарифмические координаты по оси частот - декада, по оси ординат при построении ЛАЧХ - децибел (дБ). Усилением в децибелах называется величина . Изменение  частоты  в 10 раз соответствует  одной декаде. Увеличение величины  A (усиление) в 10 раз соответствует 20 дБ.

При построении ЛФЧХ логарифмическая шкала применяется по оси частот, по оси ординат используется натуральный масштаб. Для практических расчетов удобно при изображении ЛАЧХ и ЛФЧХ использовать один и тот же график с общей осью частот. На нем по ординате совмещают точку -180° с точкой 0 дБ.

Введение логарифмических масштабов позволяет упростить построение  частотных характеристик звеньев и их последовательных соединений. В большинстве случаев достаточно ограничиться построением асимптотических ЛАЧХ. Реальная ЛАЧХ будет отличаться от асимптотической незначительно. Максимальная разница между ними составляет 3 дБ на сопрягающихся частотах [1]. Частотные характеристики основных динамических звеньев приведены в [1, 2].

Из всех рассмотренных выше частотных характеристик для анализа и синтеза автоматических систем наиболее часто используются АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ. Их можно построить, используя стандартные команды MATLAB.

Чтобы построить АФЧХ необходимо [3]:

-  перейти в командное окно Command Window комплекса MATLAB;

- после символа приглашения  »  ввести команду

nyquist([numerator], [denominator])

и нажать клавишу Enter. Появляется окно Figure No.1, где отображается годограф.

Здесь аргументы numerator, denominator представляют собой вектора коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции W(s) звена или разомкнутой системы. Определяются они аналогично тому, как определялись одноименные аргументам поля при задании блока Transfer Fсn (см. п.3.1.1).

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ производится аналогичным образом [3]. Но в этом случае необходимо вводить команду

bode([numerator], [denominator]).

В результате появляется окно с изображением графиков зависимости амплитуды и фазы от частоты.

 

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запустить программный комплекс по моделированию автоматических систем MATLAB+Simulink (см. п.1.1 [4]).

2. Изучить назначение и содержимое окон Command Window, Simulink Library Browser, модельного окна.

3. Изучить назначение основных категорий блоков и их состав (см. приложение).

4. Изучить, как осуществляется выбор, размещение блоков, связь между ними (см. пп. 2.1, 2.2, 2.3 [4]).

5. Сформировать блок-схемы, позволяющие определить переходную и весовую функции звеньев (см. п.п. 4.1, 4.2, 4.3 [4]). Типы звеньев выбираются по указанию преподавателя из таблицы.

6. Запустить блок-схему на моделирование и исследовать, как влияет изменения параметров звеньев на вид временных характеристик.

7. Изучить, как производится определение частотных характеристик звеньев (см. пп. 5.1, 5.2 [4]).

8. Определить АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для тех же звеньев, что в п. 5, и исследовать, как влияют изменения параметров звеньев на вид этих частотных характеристик.

 

3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

 

1. Цель работы.

2. Передаточные функции и значения параметров исследуемых динамических звеньев.

3. Графики временных и частотных характеристик динамических звеньев.

4. Выводы по работе, содержащие анализ полученных результатов.

 

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Как построить АФЧХ звена в прямоугольной и полярной системах координат?

2. В чем заключается физический смысл АЧХ и ФЧХ?

3. Как построить асимптотическую ЛАЧХ?

4. Как построить логарифмические частотные характеристики?

5. Какое влияние оказывают параметры звена на его временные характеристики?

6. Какое влияние оказывают параметры звена на его частотные характеристики?

7. Каков физический смысл временных характеристик звена?

8. Как определить переходную и импульсную функции теоретически?

9. Объяснить назначение основных компонентов модельного окна.

10. Какие категории блоков библиотеки Simulink Library Browser используются при моделировании линейных САР?

 



 
блюдо В этой модели искустно. сайт дц - вся детальная информация здесь