3684 СПЕЦГЛАВЫ ОПТИКИ И КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

1. ВЕРОЯТНОСТИ СПОНТАННЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ

Переход атома или молекулы из одного стационарного состояния в другое может происходить скачком в результате поглощения или испускания электромагнитного излучения. Такие переходы называются оптическими. При каждом элементарном акте испускания или поглощения выполняется закон сохранения энергии:

,                                                  (1.1)

энергия поглощаемого или испускаемого фотона равна разности энергий соответствующих стационарных состояний.

Мерой интенсивности процесса, связанного с переходом, является скорость перехода, равная числу переходов в единицу времени в единице объема среды –

,

где  ‑ вероятность перехода;  ‑ населенность уровня.

Населенностью энергетического уровня называется число частиц в единице объема среды, одновременно имеющих одну и ту же внутреннюю энергию, т.е. находящихся в одном из состояний, соответствующих данному энергетическому уровню.

Рассмотрим переход атома между двумя состояниями с энергиями  и ; пусть  и населенности уровней ‑  и  соответственно. Согласно феноменологической теории Эйнштейна, существуют излучающие переходы  двух видов: 1) спонтанные, происходящие без какого-либо воздействия извне; 2) индуцированные (вынужденные),

 

Рис. 1.1

происходящие под влиянием внешнего излучения частоты . Поглощающие переходы осуществляются лишь под влиянием излучения частоты  (рис. 1.1).

Скорость спонтанного перехода , а мощность спонтанного излучения, отнесенная к единице объема среды:

.                                               (1.2)

Коэффициент  называют вероятностью спонтанного перехода или коэффициентом Эйнштейна для спонтанного перехода.

Процесс спонтанного излучения является совокупностью независимых квантовых переходов, происходящих в различных возбужденных атомах в разные моменты времени. Если число возбужденных атомов  убывает со временем лишь за счет спонтанных переходов, тo

,                                                  (1.3)

где - начальное число атомов в состоянии  при ,

.                                                   (1.4)

Суммирование производится по всем энергетическим состояниям, лежащим ниже -го состояния. Величина  называется временем жизни -го состояния. Очевидно,  равно времени, в течение которого число атомов в состоянии  убывает за счет спонтанных переходов в  раз. Для резонансной линии .

Скорость процесса поглощения , где  ‑ коэффициент Эйнштейна для вынужденного перехода,  ‑ объемная плотность энергии излучения, отнесенная к единичному интервалу частот. Вероятность перехода равна , а мощность, поглощенная единицей объема среды, равна

.                                        (1.5)

Скорость вынужденного излучения , а

.                                       (1.6)

Введенные Эйнштейном коэффициенты  и  являются атомными константами с определенными значениями для данного перехода в данном атоме.

Для нахождения соотношений между коэффициентами Эйнштейна рассмотрим элементарную квантовую картину динамического равновесия между излучением и материальной средой. Между материальными телами, помещенными в замкнутую оболочку, и излучением в полости оболочки со временем устанавливается термодинамическое равновесие. Оно осуществляется посредством постоянного обмена квантами между полем излучения и телами, в результате которого происходят переходы атомов между уровнями энергии и изменяется число квантов в поле излучения.

Согласно принципу детального равновесия обмен квантами должен уравновешиваться для каждой частоты в отдельности (точнее, для каждой моды излучения). Поэтому мы рассмотрим лишь одну частоту, а для других частот все рассуждения будут аналогичны.

При равновесии

(1.7)

и

.                                    (1.8)

Так как равновесие имеет статистический характер, то отношение  может быть выражено через распределение Больцмана:

,                                (1.9)

где  ‑ статистические веса уровней  и  соответственно (статистический вес показывает, сколько независимых состояний атомов имеют одну и ту же энергию).

Из (1.8) и (1.9) следует, что

.                               (1.10)

Для определения соотношения между коэффициентами используем предельное условие: при , . Следовательно,

.                                                (1.11)

Если уровни простые (невырожденные), то .

По формуле Планка для равновесного теплового излучения

.                                      (1.12)

Отсюда следует, что

.                                                    (1.13)

Из соотношений (1.12) и (1.13) видно, что если каким-либо способом определен один из коэффициентов Эйнштейна, то можно рассчитать  остальные и определить мощности излучения и поглощения.

Как следует из рассмотрения, поглощение и вынужденное испускание – два в точности взаимно обратных процесса. Известно, что при поглощении уменьшается интенсивность света, но полностью сохраняются свойства когерентности (это видно из того, что при любых интерференционных опытах прохождение светового пучка через поглощающую среду не разрушает интерференционную картину). В силу законов симметрии явлений следует ожидать, что индуцированное излучение должно быть когерентно с падающим. При вынужденном излучении частота, фаза, поляризация и направление распространения испущенной электромагнитной волны полностью совпадают с соответствующими характеристиками внешней вынуждающей волны.

 

КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ

Вероятности вынужденных переходов мы можем найти в рамках полуклассической теории излучения. В этой теории поле оптического излучения рассматривается как классическое электромагнитное поле, подчиняющееся уравнениям Максвелла, тогда как поведение атомов вещества  описывается квантовой механикой. Полуклассическая теория приводит к успеху при решении большинства задач оптики. Лишь в некоторых задачах, где необходим учет шумов (флуктуаций лазерного излучения), нужно принимать во внимание не только дискретность процессов поглощения и испускания света атомными системами, но и сам факт квантования поля излучения.

Рассмотрим атом, который, начиная с некоторого момента времени , подвергается действию поля монохроматической световой волны, линейно поляризованной вдоль оси . Электрическое поле этой волны действует на электрон атома с силой

.                                          (1.14)

Действием магнитного поля пренебрегаем, т.к. , где - скорость электрона.

Для решения задачи воспользуемся методом нестационарной теории возмущений. Выберем начало координат в центре атома. В оптическом диапазоне длин волн можно считать, что на протяжении атома волна имеет одну и ту же фазу. Тогда силе  мы можем сопоставить потенциал

.                                        (1.15)

Поведение атомов в заданных внешних полях определяется уравнением Шредингера

.                                          (1.16)

Здесь  ‑ волновая функция,  ‑ оператор полной энергии (гамильтониан).

Так как энергия связи электрона в атоме много больше энергии волны, то гамильтониан  можно представить состоящим из невозмущенной части  и переменной энергии атома во внешнем поле :

,                                               (1.17)

где оператор  можно считать малым по сравнению с .

Решение возмущенного уравнения Шредингера

(1.18)

явно зависит от времени.

При  возмущенное уравнение принимает вид

.                                                  (1.19)

Решение этого уравнения, определяющего стационарные собственные функции  и спектр энергий  невозмущенного гамильтониана , предполагается известным. Это решение можно рассматривать как нулевое приближение и искать приближение более высокого порядка.

Принимая во внимание, что функции  образуют полную ортогональную систему, будем искать решение уравнения (1.18) в виде ряда по собственным функциям невозмущенного оператора энергии

.                                 (1.20)

Квадрат модуля коэффициентов разложения  определяет вероятность нахождения атома в состоянии с энергией . В теории нестационарных возмущений коэффициенты  считаются зависящими от времени . Можно показать, что  меняются со временем медленно по сравнению с быстроменяющимися экспоненциальными множителями , входящими в .

Подставим (1.20) в (1.19):

.           (1.21)

Первый и третий члены уравнения (1.21) равны, т.к.  удовлетворяют невозмущенному уравнению (1.19). Тогда

.                                      (1.22)

Умножим (1.22) на комплексно-сопряженную функцию  и проинтегрируем  по всему пространству:

.                        (1.23)

Слева имеем сумму, в которую входят интегралы вида , т.к. функции  ортонормированы. Поэтому слева остается только один член, соответствующий , т.е. левая часть (1.23) сводится к . Перепишем (1.23) в явном виде:

.                                   (1.24)

Для получения первого приближения можно воспользоваться тем, что  меняются медленно, и принять, что для моментов времени , близких к началу действия возмущения , коэффициенты  сохраняют те значения, которые имели при .

Если, например, при  атом находился в стационарном состоянии с энергией , то для  по смыслу коэффициентов разложения , а остальные коэффициенты равны нулю. В этом случае , т.к. с достоверностью известно, что атом находился в состоянии . Мы допускаем, что эти значения коэффициентов сохраняются при достаточно малых значениях . Это дает возможность приближенно вычислять зависимость всех коэффициентов от времени. При указанном условии

.                                         (1.25)

Полагая , получаем соотношения для всех коэффициентов , из которых эти коэффициенты могут быть вычислены порознь. Это будет первое приближение, после которого можно найти второе приближение, подставляя вычисленные значения в (1.24) и снова проводя интегрирование.

Ограничимся первым приближением. Учитывая, что , , получаем

.                                 (1.26)

Итак, под влиянием возмущения будет происходить переход в другие состояния. При этом, так как для  все  могут оказаться , мы не можем сказать, что переход совершается в какое-нибудь одно определенное состояние. Мы можем утверждать только, что если при  произвести измерение энергии, то с вероятностью  получим значение, равное . Если  будет равно нулю, то переход  невозможен. Таким образом,  характеризует вероятность перехода  за промежуток времени .

Подставляя выражение (1.15) для потенциала возмущения в (1.26) и вводя обозначение

,                                     (1.27)

получаем уравнения для определения коэффициентов  в явном виде:

.                                 (1.28)

Известно, что среднее значение дипольного момента атома в каком-либо стационарном состоянии с собственной функцией  равно

,                                       (1.29)

а в формулу (1.27) входят функции, описывающие два состояния. По аналогии , определенное формулой (1.27), будем называть средним дипольным моментом перехода . Дипольный момент перехода характеризует изменение электрических свойств атомов (молекул) при разрешенных оптических квантовых переходах.

Заменив в (1.28)  по формуле Эйлера и проинтегрировав по времени от  до , получим

.                 (1.30)

Переходы могут иметь двоякий характер. Если , то будет происходить поглощение излучения, если  – вынужденное испускание. В первом случае , во втором . Видно, что в каждом из случаев одним из слагаемых можно пренебречь. Так как  большое число, то при поглощении можно пренебречь первым слагаемым, при вынужденном испускании – вторым.

Тогда для случая поглощения получим:

.                   (1.31)

Из анализа (1.31) видно, что  будет иметь для любого момента времени острый пик при . Значит, падающая волна оказывает на атом воздействие, ведущее к переходу  только в том случае, когда ее частота совпадает или близка к . Вероятность перехода пропорциональна: 1) квадрату амплитуды, а следовательно, интенсивности падающей волны; 2) квадрату , что аналогично классическому выражению, только в (1.31) входит не сам дипольный момент , а матричный элемент . График функции  показан на рис. 1.2. Видно, что в основном осуществляются пере-

ходы в такие состояния, для которых  лежит в пределах главного максимума. Разброс значений параметра  определяет разброс значений энергии конечного состояния  .

 

Рис. 1.2

Так как собственные значения оператора возмущения являются действительными величинами, то оператор возмущения является эрмитовым. Для эрмитовых операторов  и, следовательно, вероятности прямых и обратных переходов будут равны

.