124

Оглавление

Введение …………………………………………………………………

4

1. Постановка задачи моделирования радиоэлектронных систем …..

5

2. Особенности радиосигналов как объекта моделирования   ……….

6

3. Моделирование случайных величин с равномерным распределением

8

4. Моделирование непрерывных случайных величин

с заданным  законом  распределения …………………………………

 

11

5. Моделирование случайных величин методом нелинейного

преобразования, обратного функции распределения ……………….

 

11

6. Моделирование непрерывных случайных величин методом

исключения (методом Неймана) ……………………………………..

 

14

7. Моделирование дискретных случайных  величин…………………

16

8. Моделирование непрерывных случайных величин методом

кусочной  аппроксимации ……………………………………………..

 

18

9. Моделирование нормальных случайных величин…………………

21

10. Моделирование случайной величины с бета-распределением ….

24

11. Моделирование случайных величин с гамма-распределением …

27

12. Моделирование с помощью нелинейного преобразования

нормально распределенной случайной величины ………………...…

 

29

13. Моделирование случайных векторов .………………………..…..

31

14. Моделирование случайных векторов в рамках корреляционной

теории……………………………………………………………..……

 

32

15. Моделирование случайных векторов методом линейного

преобразования ……………………………………………………..…

 

33

16. Моделирование случайных векторов, распределенных

по многомерному закону  Дирихле ..………………………………...

 

35

17. Моделирование случайных процессов ………..…………………

37

18. Моделирование гауссовских стационарных случайных

процессов ……………………………………………………………..

 

38

19. Моделирование гауссовских стационарных случайных процессов

методом  скользящего суммирования ………………………………..

 

41

20. Определение весовых коэффициентов  при моделировании

случайных процессов методом скользящего суммирования ……….

 

42

21. Моделирование узкополосных гауссовских случайных процессов

43

22. Моделирование негауссовских стационарных случайных

процессов ………………………………………………………………

 

45

23. Моделирование случайного процесса с равномерным

распределением ……………………………………………………….

 

49

24. Моделирование случайного процесса с релеевским распределением

50

Библиографический список .……………………………………….…

52

Введение

 

Для последних десятилетий характерно существенное усложнение систем радиоуправления, радиолокационных и радионавигационных комплексов. Усложнение таких систем поставило новые задачи при проектировании, изготовлении, испытаниях образцов новой техники.

Уникальность и дороговизна радиоэлектронных систем зачастую исключают традиционные эмпирические методы проектирования путём «доводки» аппаратуры на серии опытных образцов. В ряде случаев многофункциональную радиоэлектронную систему невозможно исследовать в натуральных условиях в течение всего времени эксплуатации. Анализ поведения некоторых радиоэлектронных систем в аварийных ситуациях также часто невозможен, если для такого анализа использовать действующую в полевых условиях систему [1-3].

Одним из эффективных и экономичных способов исследования и проектирования радиоэлектронных систем является  моделирование на ЭВМ.  Любая радиотехническая система, от самой простой до самой сложной, перед запуском в производство проходит исследование при помощи моделирования на  аналоговых  или цифровых вычислительных машинах.

Моделирование на цифровых вычислительных машинах является разновидностью математического моделирования - исследования объекта или явления с помощью математической модели, которая воспроизводит интересующие исследователя свойства оригинала.

Под математической моделью часто понимается формальное описание объекта или явления при помощи функциональных или логических операторных соотношений, алгебраических, интегро-дифференциальных и других уравнений, которые могут быть представлены как в незамкнутой, так и в замкнутой форме [1-4].

Процессы, действующие в радиотехнических системах, являются случайными. Поэтому одной из важнейших задач, возникающих при цифровом моделировании радиосистем, является задача нахождения алгоритмов для генерирования на ЭВМ широкого класса случайных процессов. Целью данного учебного пособия и является изложение основных методов, которые используются на практике для формирования случайных последовательностей.

Алгоритмы, используемые для формирования цифровых моделей радиосигналов, должны обладать следующими свойствами.

1. Статистические характеристики формируемых на ЦВМ сигналов должны соответствовать реальным процессам.

2.   Объем вычислений, необходимый для формирования сигналов, должен быть минимальным.

  1. Возможность генерирования широкого класса радиосигналов.

 

1. Постановка задачи моделирования радиоэлектронных систем

Задача моделирования [1-8] радиоэлектронных систем, как правило, состоит в воспроизведении характеристик исследуемой системы на другом объекте (модели системы).

Основное назначение любой радиоэлектронной системы  - передача, приём и переработка информации, заложенной в сигналах. Алгоритм работы радиоэлектронной системы, определяющий последовательность преобразования сигнала (генерирование, модуляция, преобразование частоты, детектирование, фильтрация, накопление, слежение, принятие решения и т. д.), известен. Разработка математической модели системы сводится к переводу известного алгоритма функционирования радиосистемы на язык математики. Например, операция накопления сигнала может представляться сложением, фильтрация - интегралом свёртки или преобразованием Фурье, процедура принятия решения - логическими операциями, детектирование - выделением огибающей. Полученная математическая модель радиосистемы является основой для разработки цифровой модели, предназначенной для реализации на ЦВМ. В основу построения цифровой модели положена замена аналоговых представлений их дискретными эквивалентами.

Реализация цифровой модели радиосистемы на ЦВМ означает замену специализированной вычислительной машины (аналоговой или цифровой), которой является радиосистема, универсальной ЦВМ [1].

Для исследования разработанной цифровой модели необходимо создание цифровой модели сигнала (возмущения), действующего в радиоэлектронной системе, то есть необходимо найти алгоритмы, позволяющие получать на ЦВМ дискретные реализации моделируемых процессов. Эта задача решается с помощью преобразований независимых равномерно или нормально распределенных случайных чисел в случайную последовательность с заданными статистическими характеристиками. Как и при моделировании радиоэлектронных систем, разработке цифровой модели сигнала предшествует создание его математической модели. Поскольку сигналы, действующие в системе, случайны, математические модели должны, в общем случае, задаваться многомерными законами распределений моделируемых сигналов.

В результате исследования цифровой модели радиоэлектронной системы могут оцениваться различные её характеристики. Задачей моделирования радиолокационных систем обнаружения является определение вероятностей ложной тревоги и пропуска цели. При исследовании радиолокационных систем слежения основной задачей является оценка точности слежения за доплеровской частотой и задержкой сигнала. В системах радиоуправления основным предметом исследования является точность управления.

При цифровом моделировании радиоэлектронных систем информация о параметрах моделируемой системы заключена в цифровых реализациях, сформированных из исходных сигналов в соответствии с операциями, предусмотренными цифровой моделью.

Заключительным этапом моделирования является интерпретация полученных результатов. Поскольку реализации выходных сигналов являются случайными функциями, анализ результатов моделирования должен осуществляться с помощью статистических методов. Параметры, характеризующие моделируемую систему, оцениваются обычно по множеству реализаций, отображающих выходной сигнал. Наиболее полной характеристикой является многомерный закон распределения оцениваемых параметров. Однако гораздо чаще оцениваются математические ожидания, дисперсии, корреляционные функции процессов, характеризующих радиоэлектронную систему.

Объём реализаций выходных сигналов, получаемый при моделировании, всегда конечен. Поэтому оценки параметров, характеризующих систему, вычисляются неточно. В связи с этим необходимо определять точность данных, получаемых при моделировании. Чаще всего определяются вероятности того, что оцениваемый параметр находится в определённом интервале возможных значений. Эти вероятности называются доверительными.

 

2. Особенности радиосигналов как объекта моделирования

Сигнал, действующий в произвольной точке радиоэлектронной системы, можно представить в следующем виде [1]:

(1)

где t – непрерывное или дискретное время;  , - функция со случайными параметрами;  - случайные процессы (шумы, помехи);  – целые положительные числа; F1(·) - символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от времени.

Реализацией случайного процесса U(t) является детерминированная функция

 

где  - номер реализации;

, - -я реализация случайного процесса;  - реализация случайных величин

При цифровом моделировании необходимо осуществить формирование на ЦВМ случайного процесса (1), который при известных функциях

,

известном преобразовании

и известных статистических характеристиках случайных величин X, Y и случайных процессов x (t) является математической (статистической) моделью сигнала. Необходимо иметь в виду, что наиболее полным описанием сигнала (1) является его многомерный закон распределения.

Если сигнал U(t) является функцией с непрерывным временем, то при формировании на ЦВМ реализациям U(k)(t) ставятся в соответствие реализации , с дискретным временем . Величина Δt является шагом дискретизации, а величины N и  Δt связаны соотношением

 

где T - длительность сигнала.

Случайная последовательность

 

называется цифровой моделью сигнала U(t). Реализациями сигнала , формируемыми на ЦВМ, являются последовательности

 

В математическом обеспечении ЦВМ имеются датчики псевдослучайных нормально или равномерно распределённых независимых чисел. Задачей моделирования является нахождение таких преобразований этих чисел, после которых их статистические характеристики были бы эквивалентны статистическим характеристикам модели (1). В общем случае многомерные законы распределения сигнала (1) и сформированного на ЦВМ случайного процесса, реализациями которого являются функции , должны быть идентичны.

 

3. Моделирование случайных величин  с равномерным

распределением

Многие широко использованные на практике способы моделирования случайных величин с произвольными законами распределения основаны на нелинейных преобразованиях равномерно распределённой на интервале (0, 1) случайной величины. Поэтому генерирование таких равномерно распределённых случайных чисел является одной из основных задач при моделировании случайных радиосигналов и помех. Часто совокупность независимых равномерно распределённых в интервале (0, 1) случайных величин называется последовательностью базовых случайных чисел. Не всегда имеется возможность получения базовых чисел на универсальных ЦВМ. Поэтому вместо случайных чисел используются так называемые псевдослучайные, которые формируются в результате выполнения специальной программы – генератора псевдослучайных чисел. Это программа многократного использования, при каждом обращении к ней вырабатывается одно число псевдослучайной последовательности. Псевдослучайные числа заменяют в процессе моделирования базовые случайные числа.

Так как адекватность сформированных на ЦВМ моделей сигналов и помех в значительной мере будет зависеть от степени соответствия псевдослучайных чисел базовым, необходимы критерии оценки их свойств.Среди набора статистических тестов, которые используются для проверки качества сформированных псевдослучайных последовательностей, следует выделить основные.

Важной проверкой является оценка равномерности распределения. Введём понятие k-равномерности [5,6].

Пусть - последовательность выборочных значений для равномерного распределения в (0, 1). Составим векторы  следующим образом:

 

,

…………

.

С вероятностью 1 такие векторы равномерно заполняют «единичный» k-мерный куб. То есть вероятность попадания вектора в любую «прямоугольную» область куба стремится к объёму этой области при . Бесконечные последовательности таких чисел, обладающие такими свойствами, называются k-равномерными. Однако осуществление этой важной проверки очень трудоёмко при анализе псевдослучайных чисел. Поэтому часто ограничиваются проверкой k-равномерности в «единичном» кубе невысокой размерности (k = 1, 2,  3,  4).

Для случая k =2 проверка осуществляется следующим образом. Область единичного квадрата разбивается на e подобластей с одинаковой площадью pi так, чтобы сумма площадей . Возьмём отрезок псевдослучайной последовательности, состоящей из 2N чисел, и образуем из них N пар . Каждая из этих пар определяет точку в единичном квадрате. Обозначим , частоту попаданий в i-ю подобласть. Через , обозначим ожидаемую частоту попадания. Для равномерного распределения эта частота равна

.

Для достаточно большого N величина

 

при проверке гипотезы о равномерности и независимости последовательности пар  приближённо распределена как χ2e-1 (хи-квадрат распределения с e-1 степенями свободы).

Если , где определяется    уравнением , то гипотезу о равномерности и независимости последовательности следует поставить под сомнение. Величину  называют доверительной вероятностью с уровнем значимости n и определяют по таблицам хи-квадрат распределения. Значение n обычно выбирают в пределах 0,05-0,001. Длину последовательности N выбирают из условия, чтобы .

Аналогично рассмотренному случаю можно организовать проверку и для k>2.

Для проверки сформированной псевдослучайной последовательности рекомендуется использовать следующее свойство независимых, равномерно распределённых в интервале (0, 1) случайных чисел. Если  независимы и равномерно распределены в интервале (0, 1), то случайная величина , где , имеет равномерное распределение в интервале (0, 1). Для осуществления такой проверки необходимо генерировать N последовательностей, состоящих из  k чисел каждая, выбирать из каждой последовательности максимальное число и возводить его в k -ю степень. Для проверки гипотезы о равномерности полученной таким образом последовательности из N элементов можно использовать критерий согласия хи-квадрат.

Целесообразно исследовать и корреляционные свойства формируемых последовательностей. Для этого вычисляют статистические оценки коэффициента корреляции r(k) для пар

,   l=1, 2,…,

и определяют, насколько значимо они отличаются от нуля. Эта проверка, однако, является слабой. В частности, из условия r(l) =0 не следует, что сформированная последовательность будет равномерной.

Выполнение рассмотренных проверок позволяет оценить, по крайней мере, качество генерируемой псевдослучайной последовательности. Вместе с тем считается, что лучшей проверкой датчиков является решение типовых задач, допускающих независимую проверку полученных результатов аналитическими или численными методами. То есть представление о надёжности псевдослучайных чисел создаётся в процессе их использования с  тщательной проверкой результатов, когда это возможно.