3388 АДАПТИВНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Цели и задачи лабораторного практикума

 

Цель практикума дать представление о способах устойчивого статистического анализа данных на основе применения вероятностных методов и современных компьютерных технологий. Проблема устойчивости статистического анализа сейчас выдвигается в число важнейших.  Это связано с развитием статистических исследований в условиях неопределенности, наличия сбойных результатов в экспериментах. На современном этапе аналитические методы уступили место алгоритмическим. Раньше исследователь стремился получить решение уравнений для тех или иных задач. Сейчас тенденция состоит в составлении уравнений, а решение и их анализ возлагаются на ЭВМ. Результаты таких расчетов во многом зависят от выбора метода обработки данных, характеристик устойчивости методов по отношению к нарушениям исходных предпосылок метода. В основу традиционных методов обработки данных положено допущение о том, что искажение сигнала является известным и инвариантным во времени, а реально исходные предпосылки метода практически могут соблюдаться лишь приближенно. В связи с этим возникла проблема огрубления, стабилизации алгоритмов обработки данных при их реализации на ЭВМ. В адаптивной системе обработки данных необходим минимальный объем исходной информации о поступающих данных Адаптивная система обработки данных действует по принципу оценивания статистических параметров поступающих данных и подстройки системы обработки таким образом, чтобы минимизировать некоторую функцию потерь, т.е. она может адаптироваться (самооптимизироваться) при изменении условий функционирования системы. Можно сказать, что эра детерминированного статистического анализа, когда считалось, что исходные предпосылки выполняются точно, заканчивается, начинается эра адаптивных просчетов, т.е. на основании результатов обработки экспериментальных данных меняются алгоритмы в соответствии с полученной в результате обработки информацией. В лабораторном практикуме основное внимание направляется на изучение достаточно универсальных устойчивых статистических методов анализа данных. Для каждой темы лабораторной работы приведены основные теоретические понятия и типовые примеры адаптивной обработки данных. Глубокое изучение всех тем позволит студенту осознанно применять имеющиеся и создавать новые алгоритмы устойчивого статистического анализа данных.

В методических указаниях рассматриваются важнейшие темы по  адаптивной обработке данных:

1. Принятие решения о работоспособности объекта управления.

2. Спектральный метод восстановления входного сигнала измерительной системы.

3. Итеративный метод восстановления сигнала.

4. Оперативный статистический контроль качества промышленной продукции на основе малой выборки. Расчет доверительных интервалов.

 

 

Лабораторная работа № 1

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТА

Цель работы

Изучение метода построения области работоспособности с помощью системы линейных неравенств по измеренным граничным точкам и реализации проверки условий работоспособности, ознакомление с возможностями использования метода в информационных системах.

Теоретическая часть

Непрерывное возрастание сложности систем радиоэлектроники, автоматики, технологических процессов приводит к необходимости применения контроля на всех этапах их создания и эксплуатации. Контроль за ходом производственного процесса является важнейшей задачей подсистемы оперативного управления. Максимальное количество информации о состоянии контролируемого объекта получают при контроле по критерию работоспособности. Однако из-за большой сложности при определении величины критерия работоспособности его вычисление заменяют определением области допустимых значений параметров, при которых критерий работоспособности находится в заданных пределах.

Полученная многомерная область работоспособности имеет обычно сложную форму, поэтому ее аппроксимируют вписанным или описывающим прямоугольным гиперпараллелепипедом. Достоинством данной формы задания областей работоспособности является простота принятия решения о годности контролируемого объекта. Однако она оказывается неприменимой при контроле многопараметрических объектов из-за больших погрешностей аппроксимации многомерных областей прямоугольным гиперпараллелепипедом.

Результаты анализа погрешностей аппроксимации наиболее распространенных областей гиперпараллелепипедами показывают, что погрешность резко возрастает с увеличением размерности пространства контролируемых параметров (количества контролируемых параметров).

Уменьшения погрешности аппроксимации можно достигнуть более точным заданием границ областей. В этом плане наиболее распространенным является задание области работоспособности системой линейных неравенств:

.                                                                 (1)

Исходными данными для определения количества линейных неравенств и значений их коэффициентов являются граничные точки, которые могут быть найдены в результате проведения граничных испытаний.

Для построения области работоспособности предлагается использовать метод гиперплоскостей, позволяющий получить область в виде многогранника, вершинами которого будут граничные точки. Грани многогранника представляют собой гиперплоскости, которые соответствуют уравнениям неравенств (1) при замене знака “£” на знак “=”.

Основным содержанием лабораторной работы являются получение для заданного критерия работоспособности массива граничных точек и построение по ним методом гиперплоскостей области работоспособности в виде системы неравенств (1) с последующей проверкой ее на соответствие производственному процессу для измеренных значений параметров Т и x.

 

Получение массива граничных точек

В качестве объекта контроля используется динамический объект с передаточной функцией:

.

Выражение для переходного процесса объекта имеет вид:

.

Критерий работоспособности задается в виде ограничения на время регулирования, которое определяется в результате решения трансцендентного уравнения:

,

где D – допустимая (установившаяся) ошибка ( обычно D = ± 5 %).

Приближенное решение этого уравнения представляет собой время регулирования

.                                                                             (2)

Область работоспособности требуется построить в пространстве параметров Т и x. Массив граничных точек получают с помощью метода граничных

испытаний в заданных направлениях (рис.1).

Т

 

T0x0

x

 

 

 

 

Рис.1. Направления поиска граничных точек

Метод гиперплоскостей для построения выпуклой области

Метод гиперплоскостей заключается в последовательном включении каждой граничной точки в выпуклую оболочку и в исключении гипер­плоскостей, оказавшихся внутри области.

Вычислительная процедура построения области работоспособности по граничным точкам методом гиперплоскостей заключается в выполне­нии следующих операций.

  1. 1. Выбираются произвольным образом первые (N+I) граничные точки (на рис.2 для N = 2 точки 1, 2, 3) и строятся по ним (N+1) гиперплоскости (для N = 2 прямые 1-2, 2-3, 3-1). Для каждой        построенной гиперплоскости запоминаются координаты граничных  точек, по которым она построена, и координаты ее вершины.

Вершиной данной гиперплоскости условимся называть ту точку из выбранных (N + 1) точек, через которую не проводится гиперплоскость (на рис.2 точки 1 и 2 являются соответственно вершинами гиперплоскостей 2-3 и 1-3).

2. Определяется для следующей, выбранной произвольно, граничной точки (точка 4) соответствующая ей генеральная прямая гиперплоскость (прямая 1-3). Генеральной гиперплоскостью данной граничной точки будем называть гиперплоскость, вершина которой и данная граничная точка расположены по разные от нее стороны.

Генеральных гиперплоскостей для данной граничной точки может быть несколько (для точки 5 прямые 1-4, 3-4), особенно при построении многомерных областей работоспособности. Поэтому поиск генеральной гиперплоскости осуществляется среди всех ранее построенных гипер­плоскостей.

Отсутствие генеральной гиперплоскости для граничной точки означает, что точка находится внутри области, образованной ранее проведенными гиперплоскостями.

3. Выполняется п.1 для данной граничной точки и точек, че­рез которые была ранее проведена ее генеральная плоскость, найден­ная в п.2. Затем в памяти ЭВМ стираются значения коэффициентов ге­неральной гиперплоскости, координаты ее вершины и точек, через ко­торые она проведена. В противном случае область может быть построена неверно, так как генеральная гиперплоскость пересекает ее, а также может быть принята за генеральную гиперплоскость для последующих граничных точек.

 

Аналогичные действия выполняются для каждой генеральной гипер­плоскости, если их для данной граничной точки несколько. При этом среди вновь проведенных гиперплоскостей будут одинаковые (на рис. 2 через точки 4 и 5 дважды проводится прямая 4-5), информация о кото­рых должна стираться в памяти ЭВМ по тем же причинам, что и для генеральных гиперплоскостей.

4. Выбирается следующая по порядку граничная точка, и все по­вторяется с п.2.

После перебора всех граничных точек процесс построения области работоспособности заканчивается и производится определение знаков ³” “£” для системы линейных неравенств (1).

Блок-схема алгоритма построения области работоспособности по граничным точкам приведена на рис.3.

Блок 1

Производится выбор первых (N + 1) граничных точек из массива всех граничных точек.

Блок 2

Процедура построения гиперплоскости через заданные N гранич­ных точек занимает центральное место в данном алгоритме. Коэффи­циенты гиперплоскости (неравенства) определяются в результате ре­шения системы линейных алгебраических уравнений (N + 1)-го порядка. Систему получают в результате составления  уравнений гипер­плоскостей, записав вместо переменных координаты N точек, через которые необходимо провести гиперплоскость:

 

 

.                                         (3)

Так как количество неизвестных коэффициентов (N + I), то необходимо одному из них задать произвольное значение, например a = 1. Однако в этом случае невозможно построить гиперплоскость, параллельную оси координат X.

Аналогично, если присвоить значение другому коэффициенту b = 1 уравнений (3), то предлагаемый подход будет неприменим для построе­ния гиперплоскостей, параллельных соответствующим осям координат, а при задании k ¹ 0 - для построения гиперплоскостей, проходящих через начало координат.

С целью устранения второго недостатка вводятся (N + 1)-я пере­менная z и дополнительная точка (точка 4 на рис.4). Тогда построе­ние гиперплоскости осуществляется в (N + 1)-м пространстве, а произвольное значение присваивается коэффициенту при переменной z. Координаты дополнительной точки (точка 4) необходимо выбирать такими, чтобы ни одна из гиперплоскостей не была параллельна оси координат (N + 1)-й переменной z. Это требование выполняется, если значение хотя бы одной из координат дополнительной точки (не считая координаты по оси z) меньше минимального или больше макси­мального значения соответствующей координаты множества граничных точек. Значения остальных координат задаются произвольно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате решения (N + 1)-го порядка (3) определяются значения коэффициентов (N + 1)-й гиперплоскости. Исключение из уравнений гиперплоскостей дополнительной переменной позволяет получить область в N-мерном пространстве (заштрихованная область на рис.4).

Блоки 3, 4

Производится проверка - первые ли (N + 1) гиперплоскостей построены. Если первые, то осуществляется поиск генеральной гипер­плоскости. В противном случае выполняется проверка - все ли генеральные гиперплоскости найдены и использованы при построении гиперплоскостей для данной граничной точки.

Блоки 5, 6

После построения всех гиперплоскостей для данной граничной точки внутри области работоспособности оказываются генеральная гиперплоскость и одна или несколько пар одинаковых гиперплоскос­тей, если генеральных гиперплоскостей больше одной (рис.2).

Как указывалось ранее, при дальнейшем построении выпуклой
оболочки эти гиперплоскости могут быть приняты за генеральные для последующих граничных точек, что приведет к неправильному построению   области работоспособности. Поэтому при переходе к следующей граничной точке значения их коэффициентов необходимо исключить.

Блоки  7,  8

Проверяется наличие  граничных точек.  Если  есть граничные точки, которые  еще не  включены в выпуклую оболочку,  то  выбирает­ся следующая точка  из массива граничных точек  и  процесс  построения области  работоспособности  продолжается далее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Блок 9

Поиск генеральной гиперплоскости осуществляется среди  всех ранее построенных гиперплоскостей в результате подстановки  в урав­нение  каждой  гиперплоскости  координат  ее  вершины  и  данной  гранич­ной точки.  Признаком  генеральной гиперплоскости является  противо­положность  знаков результатов подстановки.

Блок 10

Проверяется наличие для выбранной граничной точки хотя бы одной генеральной гиперплоскости. Отсутствие генеральной гипер­плоскости для данной граничной точки свидетельствует о том, что точка оказалась внутри области работоспособности и данная точка может быть исключена.

Блок 11

Для найденной генеральной гиперплоскости производится поиск координат N точек, по которым она была построена.

Блок 12

Знаки неравенств ³” и "£ " определяются в результате подстановки координат вершин гиперплоскости в уравнение гиперплоскости. При этом используется свойство вершин принадлежать области работоспособности. Символ "£” соответствует отрицательному знаку результата подстановки, символ ³” - положительному. Для удобства использования результатов построения области работоспособности все неравенства приводятся к виду ³0”.

 

Диалоговое меню

 

Система меню ориентирована на реализацию всех этапов построения области работоспособности.

1 - вычисление величины  критерия по параметрам T и x [вычисляется критерий  (2)  при заданных пользователем T, x].

2 – построение прямой через две заданные точки (на печать выводятся коэффициенты А, В, С прямой  AT + Bx + C = 0).

3 – построение области работоспособности [по граничным точкам, заданным в строгой последовательности их расположения вдоль границы (направление обхода граничных точек не играет роли), строится система граничных прямых в координатах: T - ось ординат, x - ось абсцисс].

4 - вычисление линейной формы (вычисление левой части уравнения прямой       AT + Bx + C = S при заданных пользователем T, x).

5 - построение графика переходного процесса (строится график переходного процесса объекта контроля h(t), где вертикальными линиями отмечаются допустимые значения критерия качества - минималь­ное и максимальное время регулирования tpmin, tpmax).

6 - справочная информация (содержит рекомендации по выполнению лабораторной роботы).

7 - конец работы.

Пример расчета попадания точки в заданную область.

Задана таблица работоспособности объекта (табл. 1).

Табл. 1

№ п/п

x1

x2

Работоспособность объекта

1

6

10

Да

2

1

8

Да

3

2

3

Да

4

7

5

Да

5

8

2

Да

6

11

5

Да

7

10

8

Да

Вопрос: будет ли работоспособен объект с данными параметрами ?

 

Решение. Геометрическое представление исходных данных (рис. 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Рис.5. Координаты исходных данных

 

Проведем построение области согласно алгоритму, изложенному выше.

1-й шаг. Берется (N + 1) точки в N–мерном пространстве, в нашем случае N=2, т.е. берем точки 1, 2, 3.

Через каждые N точек проводится гиперплоскость и заполняется таблица 2.

Табл.2

Прямая

1 – 2

2 – 3

1 – 3

Вершина

3

1

2

Координаты вершин

2; 3

6; 10

1; 8

Координаты 1-й точки

6; 10

1; 8

6; 10

Координаты 2-й точки

1; 8

2; 3

2; 3

Уравнение прямой

x1 – 2,5x2 + 19 = 0

x1 + 0,2x2 – 2,6 = 0

7x1 - 4x2 – 2 = 0

 

2-й шаг. Для точки 4 ищем генеральную гиперплоскость среди всех ранее построенных плоскостей. Является ли (1 – 2) генеральной гиперплоскостью для точки 4?

S (т.4) = 7 – 2,5 × 5 + 19 > 0

S¢ (т.3) = 2 – 2,5 × 3 + 19 > 0, т.е. (1-2) не является для точки 4 генеральной гиперплоскостью.

Для т. 4 генеральная гиперплоскость (1-3);

S¢ (т.4) = 7 × 7 – 4×5 - 2 > 0.

S¢ (т.2) = 7 × 1 – 4×8 - 2 < 0, т.е. (1-3) является для точки 4 генеральной гиперплоскостью.

Мы снова имеем (N + 1) точку – это {1, 3, 4}.

Через каждые N точек проведем гиперплоскости (в данном случае прямые).

Для упрощения построения часть таблицы не заполняется.

Прямая

1 – 3

3 – 4

1 – 4

Вершина

4

1

3

После обработки каждой точки генеральная гиперплоскость и плоскости повторяющиеся (одни и те же плоскости в разных таблицах) вычеркиваются.

 

3-й шаг. Для точки 5 генеральная гиперплоскость (1 – 4)

Прямая

1 – 4

4 – 5

1 – 5

Вершина

5

1

4

 

а также (3 – 4)

Прямая

3 – 4

3 – 5

5 – 4

Вершина

5

4

3

4-й шаг. Для точки 6 генеральная гиперплоскость (1 – 5)

Прямая

1 – 5

5 – 6

1 – 6

Вершина

6

1

5

 

5-й шаг. Для точки 7 генеральная гиперплоскость (1 – 6)

Прямая

1 – 6

6 – 7

7 – 1

Вершина

7

1

6

 

Получили границу области работоспособности:

(1 – 2) – (2 – 3) – (3 – 5) – (5 – 6) – (6 – 7) – (7 – 1).

Окончательный шаг. Для перехода от уравнений к неравенствам необходимо в линейную форму (левая часть равенства) поставить координаты вершины.

Если величина линейной формы положительна, то знак “=” заменяется на ³”, если же отрицательна, то знак “=” заменяется на £”.

 

Пример: (1 – 2): x1 – 2,5x2 + 19 = 0.

S(т) = 2 – 2,5 × 3 + 19 > 0.

Соответствующее неравенство имеет вид: x1 – 2,5x2 + 19 ³ 0.

 

Полученная область имеет вид, представленный на рис.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6. Область решений системы неравенств.

 

(1 – 2) Þ x1 – 2,5x2 + 19 ³ 0;

(2 – 3) Þ x1 + 0,2x2 – 2,6 ³ 0;

(3 – 5) Þ x1 + 6x2 - 20 ³ 0;

(5 – 6) Þ -x1 + 0,75x2 + 6,5 ³ 0;

(6 – 7) Þ -x1 – 0,5x2 +14 ³ 0;

(7 – 1) Þ -x1 - 2x2 + 26 ³ 0.

 

Проверка работоспособности объекта состоит в выполнении данных неравенств. Если хотя бы одно из неравенств не удовлетворяет условию, то точка не попадает в область.

Данная методика позволяет исключить сбойные результаты в экспериментах на основе адаптивных (последовательных) процедур. Адаптивность в данном случае означает отбрасывание случайных результатов до тех пор, пока численные характеристики распределения случайной величины, например вероятность, не будут постоянны. Построение линейной гиперплоскости даже для большого числа переменных не представляет сложной задачи и легко решается методами линейной алгебры [3].

 

 

 

 

 

Пример построения выпуклой области с помощью диалогового меню

Зарисовать точки в тетради и пронумеровать их. Открыть файл obras.exe, система меню которого ориентирована на реализацию всех этапов построения области работоспособности.

1. Выполнить пункт <2> - построение прямой вида через две заданные точки. Для нашего случая, введя координаты первых двух точек  (6;10) и (1;8), а затем координаты остальных, то есть (6;10) и (2;3), получим следующие значения коэффициентов А, В и С:

(1-2) А=-0,03; В=0,08; С=-0,63;

(1-3) А=-0,09; В=0,05; С=0,03;

(2-3) А=-0,23; В=-0,05; С=-0,6.

Таким образом, получены три уравнения прямых. Начертить прямые в тетради в одной координатной плоскости.

2. Для следующей точки 4 ищем генеральную гиперплоскость. В том же файле выбрать пункт <4> - вычисление линейной формы для вершины предполагаемой гиперплоскости и заданной точки.

Введя значения –0,03; 0,08; -0,63; 7; 5, получим значение S<0, а при значениях –0,03; 0,08; -0,63; 2; 3 также  S<0. Это означает, что точки 3 и 4 лежат по одну сторону от прямой (1-2).

Проделав такие же операции с оставшимися точками и прямыми, получаем, что при рассмотрении прямой (1-3) S(4)<0, а S(2)>0. Делаем вывод, что (1-3) будет генеральной гиперплоскостью для точки 4.

Аналогичные расчеты продолжаем до тех пор, пока не будут рассмотрены все точки. После обработки каждой точки генеральные и повторяющиеся плоскости исключаются.

Таким образом, получили границу области, представленную в виде:         (1-2)-(2-3)-(3-5)-(5-6)-(6-7)-(7-1).

  1. Для перехода от уравнений к неравенствам подставляем координаты вершины уравнений в линейную форму из пункта <4> файла obras.exe.

Подставив в уравнение (1-2) координаты точки 3, получим отрицательное значение линейной формы S³0. Поэтому первое неравенство будет иметь вид  (1-2) Þ .

Подставив координаты вершин в линейные формы остальных равенств, получим следующую систему неравенств:

(2-3) Þ ;

(3-5) Þ ;

(5-6) Þ ;

(6-7) Þ ;

(7-1) Þ .

Найти решение системы неравенств в тетради.

 

  1. Для проверки своего решения перейти к пункту <3> файла obras.exe. Ввести координаты точек граничной области. Сравнить полученную область на экране монитора с собственным решением.

 

Пример удаления сбойных результатов

Для работы открыть файл or_teach.exe. В открывшемся поле системы координат ввести любые 4 точки, определяющие выпуклый четырехугольник (координаты точек записать в тетрадь). Внутрь полученного четырехугольника случайным образом ввести 4 точки, координаты которых также записать в тетрадь. Допустим, координаты полученных восьми точек следующие: {1 (73;127), 2 (190;126), 3 (84;204), 4 (217;224), 5 (115;139), 6 (94;162), 7 (153;169), 8 (179;214)}. Подсчитать средние значения координат x и y. В нашем случае xср = 138 и yср = 303 (округленные до целых значений).

Далее ввести точку, которая будет расположена за границами четырехугольника [например, точку 9 (152;43)]. С учетом этой точки вычислим средние значения xcp1 = 140 и ycp1 = 282. Отбросим граничные точки: 1,2,3,4,9. Вычислим средние значения координат оставшихся точек 5,6,7,8: xcp2 = 135 и ycp2 = 274. Сравним результат с первоначальным.

На рис.7 изображено множество точек из некоторой области. Видно, что точка 54 дает сбойный результат. Данный метод с удалением выпуклых оболочек (выпуклых слоев) предложил Тьюки. Процедура получила название «шелушение». Она позволяет при большом количестве точек измерения эффективно удалять сбойные результаты для объектов высокой размерности и, таким образом вести адаптивную обработку данных в задаче принятия решения о работоспособности объекта. При этом при вводе данных в программу or_teach.exe необходимо преобразовать исходные значения переменных Xисход. данных в координаты машинные Xмаш. По формуле линейного масштабного преобразования:

 

.

 

Например, Хисх.дан исх.дан max, тогда  Хмашмаш max;

Хисх.дан исх.дан min, тогда   Хмашмаш min.

 

Для учебных целей согласно рис.7 примем Хмаш max =300, Хмаш min=50.   Эти данные необходимо использовать при построении области работоспособности в лабораторной работе.

 

 

 

Рис. 7.  Исключение сбойных результатов методом Тьюки

 

Пример определения попадания точки с заданными координатами (х12) в полученную область. Для этого открыть Windows-приложение MS Excel.

Все необходимые данные занести в таблицу, как показано на рис.8.

 

 

 

Рис. 8. Рабочее окно пакета MS Excel

 

В ячейках B4 и C4 записаны координаты заданной точки.

Для неравенства 1 в ячейках В8 и С8 записаны коэффициенты при переменных х1 и х2 соответственно. В ячейку F8 занесен свободный коэффициент, причем необходимо учесть, что все неравенства записаны в виде Ах1+Вх2³С.        В ячейке D8 записана формула подстановки точки (6;6) в линейную форму первого неравенства: 6*1+6*(-2,5)=-9. В обозначениях редактора электронных таблиц  Excel данная формула будет выглядеть следующим образом:  =суммпроизв($B$4:$C$4;B8:C8).

В применении этой формулы к неравенству 2 необходимо в формуле поменять адреса ячеек с В8:С8 на В9:С9 или выполнить операцию копирования формулы из ячейки D8 в ячейки D9:D13.

В ячейке Е8 проставлен знак неравенства 1, а в ячейку G8 занесена формула, =D8>=F8, вычисляющая логическую функцию со значениями ИСТИНА или ЛОЖЬ. Формулу в ячейке Е8 необходимо скопировать в ячейки Е9:Е13.

Окончательный результат записывается в ячейке I16 в виде формулы =И(G8:G13). То есть если во всех ячейках столбца G записано значение ИСТИНА, то, значит, точка попадает в данную область. Если же хотя бы одно из значений в столбце G принимает значение ЛОЖЬ, то результатом значения в ячейке I16 будет ЛОЖЬ. Это означает непопадание точки в данную область.

Алгоритм, изложенный в данной лабораторной работе, может служить основой адаптивных информационных систем контроля объектов. Пакет MS Excel позволяет реализовать алгоритм контроля для достаточно сложных обьектов.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Ознакомиться с содержанием работы, изучить алгоритм метода гиперплоскостей для построения областей работоспособности в виде выпуклых оболочек.

2. Получить у преподавателя номер варианта (см.таблицу вариантов заданий).

3. Для контролируемого объекта с помощью методов граничных испытаний в заданных направлениях (рис.1) получить массив граничных точек в пространстве двух параметров Т, x. При этом критерий качества должен принимать значения tp = tp min или tp = tp max с допустимой точностью (обычно Dtp = ±5 % от устанавливаемой величины tp min или tp max).

4. Произвести построение области работоспособности по полученному массиву граничных точек методом гиперплоскостей. Наблюдать на экране или на соответствующем устройстве вывода область работоспособности. Отметить контрольную точку Тизм, xизм. Принять решение о годности объекта контроля.

5. Проверить с помощью диалогового меню выполнение полученной в п.4 системы линейных неравенств для вектора измеренных значений параметров контролируемого объекта Тизм и xизм ( см. свой вариант в таблице).

6. Проверить выполнение условий работоспособности для заданных значений параметров Тизм и xизм непосредственно по критерию работоспособности (времени регулирования), наблюдая на экране (или на графике устройства вывода после соответствующих назначений) переходный процесс. Принять решение о годности объекта контроля по полученному изображению кривой переходного процесса.

Содержание отчета

1. Краткое описание сущности работы, блок-схема алгоритма метода гиперплоскостей.

2. Результаты расчета на ЭВМ: массив граничных точек, система линейных неравенств, описывающих область работоспособности.

3. Область работоспособности в координатах Т, x с отметкой контрольной точки Тизм, xизм.

4. График переходного процесса объекта контроля с параметрами Тизм, xизм.

  1. Область работоспособности в машинных координатах.
  2. Результаты контроля с помощью пакета MS Excel.
  3. Выводы.

 

Варианты заданий

 

Вариант

Номинальное значение

Т0, с

Номинальное значение

x0

Тизм, с

xизм

Шаг квантования DТ, с

Шаг квантования Dx

tp max

tp min

1

2

0,45

3,5

0,2

0,1

0,005

22

10

2

2

0,3

2,5

0,25

0,2

0,005

30

16

3

2

0,5

3,0

0,15

0,1

0,005

12

8,6

4

1

0,6

0,9

0,6

0,05

0,005

5

3

5

1

0,9

0,8

0,8

0,05

0,02

4

3

6

2

1

2,5

0,5

0,2

0,02

30

15

 

Библиографический список

  1. Кабанов А.Н. Математические методы повышения устойчивости алгоритмов АСУ. Рязань: РРТИ, 1985.
  2. Коваленко В.В. Принятие решения о работоспособности объекта: Руководство к лабораторным работам по курсу «Основы построения АСУ».Ч.2. Рязань: РРТИ, 1978.
  3. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. Под ред. В.Е. Фигурнова М., 1998.

 

 

 

 

Лабораторная работа № 2

СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВХОДНОГО           СИГНАЛА ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Цель работы

Исследование качества восстановления искаженного сигнала в зависимости от динамических свойств искажающей системы и числа наблюдаемых отсчетов сигнала. Ознакомление с возможностями использования метода в информационных системах и системах управления

Теоретическая часть

Выходной сигнал y(f)  измерительной системы с импульсной переходной функцией  k(f,t) может быть представлен в виде

.                                                                               (1)

Поскольку в уравнении (1) входной сигнал x(t) определен на конечном промежутке [0,t], то в качестве спектрального базиса можно выбрать тригонометрические функции, функции Уолша и т.д.

Выбор в качестве базиса тригонометрических функций, функций Уолша обусловлен не только хорошими аппроксимативными свойствами, но и возможностью использовать для расчетов алгоритмы быстрых преобразований. Обозначим ортонормированный базис:

 

.                                                                               (2)

 

Представим X(t) в виде разложения по системе  Ф:

 

,                                                                                         (3)

 

где .                                                                               (4)

Подставляя выражение (4) в  (1), получаем

 

.                                                                  (5)

Обозначим

.

 

В свою очередь элементы yn(t) также можно разложить по базису (2):

,                                                                                   (6)

где

.                                                              (7)

Так как выходной сигнал y(t) также может быть представлен в виде разложения по базису (2)

,                                                                                          (8)

то получим матричное уравнение, связывающее спектры исходного входного сигнала и выходного сигнала

,                                                                                           (9)

Тогда спектр исходного сигнала получим из соотношения

,                                                                                      (10)

и сам сигнал при найденном спектре определится из выражения (3).

В лабораторной работе в качестве базисных функций используется система

,    i=0, ±1, ±2,…,0£t£t.                                                 (11)

При этом матрица двумерной передаточной функции {dne}дифференцирующего  звена  Р имеет вид

 

 

 

 

d-4,-4

d-4,-3

d-4,-2

d-4,-1

d-4,0

d-4,1

d-4,2

d-4,3

d-4,n

-n

 

 

 

d-3,-4

2-j6p

2

2

2

2

2

2

d-3,n

-3

 

d-2,4

2

2-j4p

2

2

2

2

2

d-2,n

-2

 

d-1,4

2

2

2-j2p

2

2

2

2

d-1,n

-1

 

d0,-n

2

2

2

2

2

2

2

d0,n

n=0

 

d1,-4

2

2

2

2

2+j2p

2

2

d1,n

+1

 

d2,-4

2

2

2

2

2

2+j4p

2

d2,n

+2

 

d3,-4

2

2

2

2

2

2

2+j6p

d3,n

+3

 

 

 

dn,-4

dn,-3

dn,-2

dn,-1

dn,0

dn,1

dn,2

dn,3

d-n,n

n

 

 

 

-n

 

-3

-2

-1

e=0

1

2

3

...

n

 

 

 

где dn,n==2+j2pn.

Спектральные характеристики, определенные относительно системы функции (11), представлены таблицей

 

x(t)

 

i=0, ±1, ±2

1(t)

 

i=0

i= ±1, ±2,…

t

 

i=0

i= ±1, ±2,…

t2

 

i=0

i= ±1, ±2,…

Матрица {dne} для линейного стационарного звена имеет вид

.

Точность метода необходимо контролировать путем увеличения размерности матрицы  Р.

Порядок выполнения работы

Для всех исследуемых в лабораторной работе моделей искажающих систем  (рис.1) оформить в виде графиков исходный входной и исходный выходной сигналы системы, а также их аппроксимации при различном количестве коэффициентов разложения (рис. 2, 3).

 

 

Выберите динамическую модель измерительной системы

 

 

р

дифференциатор

 

 

Рис.1. Пример выбора модели искажающей системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. Пример выбора модели входного сигнала системы

 

Рис.3. Аппроксимированный выходной сигнал

Содержание отчета

  1. Цель работы и основные теоретические положения.
  2. Графики исходных сигналов и их аппроксимаций.
  3. Обоснование выбора количества членов разложения при восстановлении входного сигнала.
  4. Выводы о возможности применения метода в информационных системах и системах управления.

Библиографический список

  1. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений: Учеб. для вузов. СПб: Политехника, 2001. 240 с.
  2. Кабанов А.Н. Математические методы повышения оперативности принятия управленческих решений: Учеб. пособие. Рязань: РГРТА, 2001. 32 с.

Лабораторная работа № 3

ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛА

Цель работы

Исследование метода позволяющего в принципе исключить динамические искажения, вносимые измерительной системой. Ознакомление с возможностями  использования метода в информационных системах и системах управления.

Теоретическая часть

 

Решение задачи восстановления входных сигналов  сводится к решению интегрального уравнения вида

 

,                                                                (1)

где К(t) – импульсная переходная функция стационарного оператора, x(t) – искомый входной сигнал. В большинстве случаев линейные операторы измерительных систем имеют интегрирующий характер [1,2].

Динамические характеристики восстанавливающих операторов, применяемых для  преобразования сигнала y(t), приближаются к характеристикам неидеальных дифференцирующих операторов, имеющих укороченные по длине импульсные переходные функции. Входной сигнал может быть восстановлен по формуле:

 

.                                                                     (2)

Если n изменяется в больших пределах, то вычисление по формуле (2) может оказаться очень трудоемким по числу операций сложения и умножения. Некоторое упрощение можно получить, если применить БПФ-свертку без двоичных инверсий. Однако импульсная переходная функция  Kb[n] дифференцирующих звеньев принципиально не может быть реализована точно. Попытку избежать этой принципиальной нереализуемости Kb[n], а с ней и достигнуть точного восстановления входного сигнала можно осуществить на основе итерационных процедур Ван-Циттерта [1]. Для уравнения (1) итерационная процедура может быть представлена в виде

(3)

Выбор величин l обеспечивается сходимостью в среднем к решению уравнения (1). В выражении (3) импульсная переходная функция принципиально может быть реализована с высокой точностью. Некоторого упрощения итерационной процедуры можно добиться, если, как и в случае восстановления по формуле (2), применять БПФ-свертку без двоичных инверсий. Ниже приведены примеры применения БПФ-свертки для восстановления входного сигнала с помощью соотношения (2) путем перехода в частотную область и примеры восстановления входного сигнала на основе дискретизации соотношения (3).

 

Пример 1. Восстановление входного сигнала интегратора.

Входной сигнал в виде единичного скачка: Xi=1, где i= N – число отсчетов. Для нашего примера N=16. Тогда на выходе интегратора будем иметь сигнал вида

 

YT=[ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 ].

 

Дифференцирующий оператор

 

VT=[ 1 –1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ].

 

Находим коэффициенты разложения в ряд Фурье для сигналов V и Y. Матрица дискретного преобразования Фурье имеет вид:

 

где         .

 

Для восстановления входного сигнала на интервале наблюдения необходимо наблюдаемый входной сигнал и дифференцирующий оператор дополнить соответствующим количеством нулей [3].

Коэффициенты разложения сигнала имеют вид:

Тогда  спектр   восстановленного сигнала  имеет  вид:  XFj=VFj YFj,

Применяя обратное преобразование Фурье, получаем  где B(l,m)=W-lm.

 

=[ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ].

 

Для сокращения числа операций целесообразно применять БПФ, представленный в матричной форме. Матрица преобразований имеет вид:

 

,                  (4)

где In - единичная матрица размером (n ´ n), ÄAj=A1ÄA2Ä…An - кронекеровское произведение, ÄAi=A1ÄA2Ä…An - прямая сумма.

 

,

 

где ,  N = 2n - число отсчетов.

Формула (4) для n = 4 представляется в виде :

 

(5)

 

где        .

i = 2,4,6,8                                 j = 1,3,5,7

 

Результаты представлены FKP с двоично-инверсными номерами. С помощью формул (4) и (5) находим спектр выходного сигнала и спектр восстанавливающего фильтра. Перемножаем  их с двоично-инверсными номерами (не переставляя индексов). Входной сигнал находим по формуле

 

(6)

 

Функции FKР в формулах (5) и (6) имеют двоично-инверсный порядок. Благодаря отсутствию операции с преобразованием индексов получим экономию в вычислительных операциях.

 

Пример 2. Восстановление входного сигнала интегрирующего звена  с помощью итерационных процедур.

Дифференцирующие звенья принципиально не могут быть реализованы с большой точностью, интегрирующие инерционные звенья принципиально могут быть реализованы с любой заданной точностью. Для восстановления входного сигнала целесообразно использовать итерационную процедуру

 

(7)

где Т (шаг интегрирования) и a определяются точностью интегрирования,  К –  матрица  преобразования  интегрирующего  оператора,  S = 0…7, M = =0…7, I = 1…2000 (число итераций). За счет выбора малого значения a= 0,1     обеспечиваем сходимость итерационной процедуры.

Начальные значения входного сигнала принимаются равными выходному сигналу.

Входной сигнал: XT = [1  2  3  4  3  2  1  1].

Выходной сигнал: YT = [0,1  0,3  0,6  1  1,3  1,5  1,6  1,7]. T=0,1, a=0,1.

 

.

 

= [1   2   3   4   3   2   1   1].

 

Пример 3. Восстановление входного сигнала апериодического звена

Для восстановления входного сигнала используем итерационную процедуру (7). Начальные значения входного сигнала принимаются равными выходному сигналу. Импульсная переходная функция рассчитывается по формуле    K(t) = e-t.     Матрица преобразования имеет вид

 

.

 

Входной сигнал ХТ = [1   2   3   4   3   2   1   1].

Выходной сигнал: YT = [0,1  0,29  0,563  0,909  1,123  1,216  1,2  1,186]. T=0,1,   a = 0,1.

Восстановленный входной сигнал после 2000-й  итерации

 

= [1   2   3   4   3   2   1   1].

 

 

Порядок выполнения работы

  1. Ознакомиться с содержанием работы, рассмотреть особенности изложенных в теоретической части примеров.
  2. Используя команды операционной системы, получить доступ к программе выполнения лабораторной работы см. рисунок.

 

 

============================================

Лабораторная работа

"Итеративный метод восстановления сигнала"

============================================

1. Теоретические сведения

2. Выполнение лабораторной работы

3. Выход

============================================

Выберите пункт меню

Меню лабораторной работы

 

  1. Рассмотреть вопросы применения метода, изложенного в теоретической части, для конкретных моделей линейных динамических измерительных систем. Кратко это можно изложить так.

 

В данной лабораторной работе рассматривается итерационный метод восстановления, искаженного линейным оператором сигнала.

В качестве моделей линейной динамической измерительной системы приняты передаточные функции вида:

1. W(p)=1/p.

2. W(p)=1/(p+a).

3. W(p)=1/p(p+a).

4. W(p)=1/(p+a1)(p+a2).

5. W(p)=1/(p+a)^2.

6. W(p)=1/((p+h)^2+m^2),

с помощью которых могут быть описаны различные классы измерительных систем.

 

Итерационный процесс имеет вид:

Y(i+1)=Y(i)+(X-AY(i))a,

где Х - выходной сигнал (сигнал после искажения);

А - матрица перехода линейного оператора (полученная с помощью одной из квадратурных формул; в данной работе применяется формула прямоугольника).

Y(0)=X.

а – величина, обеспечивающая сходимость итерационного процесса (в данной работе а=0.1).

Начиная с передаточной функции 3 диагональные элементы матрицы А равны 0 (т.е. в начальный момент времени), что не позволяет восстановить исходный сигнал.

В данной работе используются два метода решения этой проблемы.

1. Восстановление с псевдообращением: в матрице А срезаются первая строка и

последний столбец (т.е. диагональные элементы становятся отличными от 0).

2. Восстановление с комбинированным фильтром: ко всем элементам матрицы А прибавляется функция вида f(t)=k*exp[-nt] (в лабораторной работе используется функция f(t)=1*exp[-100t]), которая в начальный момент времени не равна 0, а в остальные - стремится к 0.

Для ускорения процесса восстановления сигнала, свертку А на Y(i) можно выполнять, используя быстрые преобразования (в лабораторной работе используется алгоритм БПФ).

Рассмотрим суть метода:

Ф(2^n)=(1/(2^n))П[I(2^(j-1))*(I(2^(n-j))+b(2^(n-j))][I(2^(j-1))*H2*I(2^(n-j))],

где *-кронекеровское произведение;

+-прямая сумма

П - произведение от j=n до 1;

b(2^(n-j))=диаг.{1,W^(1·2^(j-1)),W^(2·2^(j-1)),W^(3·2^(j-1)),...};

W=exp(-j2п/8).

Для N=8 (n=3) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф·f=(1/8)·Ф2·Ф1·Ф4·Ф3·Ф6·Ф5·f,

F1=(1/8)·Ф· А,

F2=(1/8)·Ф·[Y(i)] - спектр восстанавливаемого сигнала,

F=F1·F2.

 

 

Следовательно, свертка с применением обратного преобразования Фурье равна

f=F·Ф5°·Ф6°·Ф3°·Ф4°·Ф1°·Ф2°,где °- знак транспонирования.

Затем результат подставляется в основную формулу итеративного метода:

Y(i+1)=Y(i)+(X-AY(i))a .

Примечание: в результате применения БПФ решение получается в двоичном инверсном коде в несортированном виде, но в данной лабораторной работе благодаря многократному применению БПФ и использованию обратного БПФ результат получается в виде, пригодном для дальнейшего использования, т.е. не требуется производить сортировку и переводить инверсный двоичный код в прямой.

  1. Результаты восстановления сигнала при наличии сбойных результатов оформить таблично и графически.

 

 

Содержание отчета

Цель работы и основные теоретические положения.

Результаты восстановления искаженного сигнала для различных измерительных систем. Оценка эффективности метода при наличии сбойных результатов измерений.

Изложить возможности использования метода в информационных системах и системах управления.

 

Библиографический список

  1. Клейман Е.Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах// АиТ. 1999. №12.  С. 3-15.
  2. Аш Ж. и др.  Датчики измерительных систем. В 2-х книгах. Кн.2: Пер. с франц. М.: Мир, 1992. С. 292.
  3. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: от редукции к идеальному прибору в физике и технике. М., 1979. 272 с.

 

 

 

 

 

Лабораторная работа № 4

ОПЕРАТИВНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРОДУКЦИИ НА ОСНОВЕ МАЛОЙ ВЫБОРКИ.        РАСЧЕТ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Цель работы

 

Теоретическое изучение и практическое освоение с помощью ПЭВМ алгоритмов одномерного оперативного (по малой выборке) статистического контроля качества промышленной продукции, применяемых при построении подсистем автоматизированного управления качеством продукции.

 

Краткие теоретические сведения

 

Промышленное изделие считается годным, если его контролируемые параметры удовлетворяют выбранному критерию. Контроль качества играет заметную роль в задачах управления промышленным производством. При этом использование вычислительной техники позволяет оптимизировать планы статистического (выборочного) контроля и производить более полный анализ информации, накапливаемой в процессе его проведения. Необходимость именно выборочного обследования при решении практических задач связана со следующими причинами:

- генеральная совокупность партии изделий настолько многочисленна, что проведение обследования всех элементов совокупности (сплошное обследование) слишком трудоемко. С такой ситуацией приходится встречаться при контроле качества продукции крупносерийного и массового производства;

- в процессе проведения испытания происходит разрушение отбираемых образцов;

- результаты выборочных исследований используются для оперативного управления производственным процессом;

- объем выборки определяется ограничениями, связанными с методом обработки данных.

Методические указания охватывают основные задачи статистического контроля качества – определение для одномерного и многомерного объектов контроля интервальных оценок математического ожидания контролируемого параметра партий изделий, интервальных оценок дисперсий, сравнение математических ожиданий и дисперсий двух партий изделий - и в сильной степени ориентированы на практическое применение в инженерной работе для разработки математического обеспечения подсистем автоматизированного управления качеством продукции. Метод получения интервальных оценок случайных величин и построение доверительных интервалов подробно рассмотрены в методических указаниях [1,2]. Ниже приведены примеры использования этого метода.

Для одномерного случая в лабораторной работе даны 9 вариантов контроля. Многомерный случай контроля в теоретическом опыте представляет собой дальнейшее развитие традиционной одномерной статистики, его отличают трудоемкие алгоритмы реализации вычислительных процедур и сложная интерпретируемость аналитических результатов в многомерном пространстве. Для многомерного случая, учитывая большую аналогию с одномерным случаем в статистической обработке данных, приведены 4 варианта многомерного оперативного статистического контроля качества промышленной продукции.

 

  1. 1. Одномерный статистический контроль

 

При проверке статистических гипотез используется понятие нулевой (прямой) и альтернативной (обратной) гипотез. Прямая гипотеза (Н0) является основной и обычно содержит утверждение об отсутствии различий между сравниваемыми величинами. Альтернативная гипотеза (Н1) представляется конкурирующей по отношению к нулевой и принимается после того, как отвергнута основная.

Удобно разделить ошибки, допускаемые при проверке гипотез, на два основных типа:

1) отклонение гипотезы Н0, когда она верна, – ошибка первого рода. Ее принято обозначать через a. Обычно величина a принимается равной 0,05 или 0,01, хотя, конечно, можно использовать и другие значения a.    Число (1-a) называют коэффициентом доверия или доверительной вероятностью;

2) принятие гипотезы Н0, когда верна какая-либо другая гипотеза, – ошибка второго рода. Вероятность ошибки второго рода принято обозначать через b.

Взаимосвязь вероятностей a и b можно представить таблицей 1.

Таблица 1

 

Условия

Решения

Принять Н0

Принять Н1

Справедлива Н0

Правильное

a-вероятность ошибка 1-го рода

Справедлива Н1

b-вероятность ошибка 2-го рода

Правильное

 

 

1.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании

контролируемого       параметра большой партии изделий

с нормальным законом распределения и известной дисперсией

по выборке малого объема (n1=10)

Гипотеза Н0:        ;         .

Гипотеза Н1:        .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: нормальный

.                                                                   (1)

 

sx2 известна.

Статистика – формируемая случайная величина с известным законом распределения:

 

.

 

Закон распределения статистики U – нормальный, mu=0; su2 = 1.

Условия принятия Н0: |U| < |Ukp|.

Определение величины Uкр показано на рис.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1

 

.                                                                                   (2)

 

 

Sкр обозначает величину площади.

 

1.1.1. Модификация гипотезы Н1:

Условие принятия Н0: U<Ukp,

 

,                                                                                   (3)

 

т.е. настраиваем технологический процесс в сторону уменьшения от .

 

 

1.1.2. Модификация гипотезы Н1:

 

Условие принятия Н0: U>-Ukp ,

 

,                                                                                    (4)

 

т.е. настраиваем технологический процесс в сторону увеличения от .

 

 

 

1.2. Проверка гипотезы о математическом ожидании

контролируемого параметра большой партии изделий

с нормальным законом распределения и неизвестной

дисперсией по выборке малого объема (n1=10)

Гипотеза Н0:       ,                  .                                 (5)

Гипотеза Н1:       .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения – (1), где sx2 неизвестна.

Статистика:

 

;                                                                                    (6)

.                                                                                     (7)

 

Закон распределения   статистики U – распределение Стьюдента c n=(n1-1) степенями свободы [2,с.31].

Плотность распределения:

 

,                                                   (8)

 

-¥<  t <-¥.

Здесь Гамма-функция  не имеет аналитического          выражения.

Для учебных целей значения Г(х) для   1 £ x £ 2  даны  в  табл.2.   Для 0<х<1 расчет ведется по формуле ; для х>2 – по формуле Г(х)=(х-1)Г(х-1).

 

Таблица 2

 

Х

Г(х)

 

Х

Г(х)

1

1

 

1,5

0,886

1,05

0,9735

 

1,55

0,889

1,1

0,95135

 

1,6

0,89

1,15

0,93304

 

1,65

0,9

1,2

0,91817

 

1,7

0,91

1,25

0,9064

 

1,75

0,919

1,3

0,8975

 

1,8

0,93

1,35

0,89

 

1,85

0,946

1,4

0,887

 

1,9

0,96

1,45

0,886

 

1,95

0,98

 

 

 

2.0

1

 

Условие принятия Н0: |U| < |Ukp|.

Для иллюстрации можно использовать рис.1, приняв за закон распределения  функцию (8).

 

.                                                                                 (9)

 

1.2.1. Модификация гипотезы Н1:

Условия принятия Н0: U<Uкр,

.                                                                                  (10)

1.2.2. Модификация гипотезы Н1:

Условия принятия Н0: U>-Uкр,

 

.                                                                              (11)

1.3. Проверка гипотезы о математическом ожидании

контролируемого параметра большой партии изделий

с произвольным законом распределения по выборке

большого объема (n1=40)

Гипотеза Н0:         ;                .

Гипотеза Н1:       .

Вид выборки: большая.

Закон распределения: произвольный.

Статистика – (6),(7).

Закон распределения статистики U - нормальный закон, mu=0; su2 = 1.

Условия принятия Н0: |U| < |Ukp|.

Для иллюстрации можно использовать рис.1, для расчетов – формулы (2), (3), (4) при различных модификациях гипотезы Н1 аналогично рассмотренным случаям 1.2.1., 1.2.2.

 

1.4. Проверка гипотезы о средних значениях контролируемого

параметра двух больших партий изделий с нормальным

законом распределения и известными дисперсиями

по двум малым  выборкам (n1=10; n2=15)

.

(12)

Гипотеза Н0: ;

 

Гипотеза Н1: .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения – для независимых случайных величин x,y нормальные законы распределения с известными дисперсиями     sx2, sy2.

Статистика:

 

.

Закон распределения статистики U – нормальный закон, mn=0; sn2=1.

Условия принятия Н0: |U| < |Ukp|.

Для иллюстрации можно использовать рис.1,  для расчетов – формулы (2), (3), (4) при различных модификациях гипотезы Н1.

1.5. Проверка гипотезы о средних значениях контролируемого

параметра двух больших партий изделий с нормальным

законом распределения и неизвестными дисперсиями

по двум малым выборкам (n1=10; n2=15)

Гипотеза Н0: , определяемые соотношениями (12).

Гипотеза Н1: .

Вид выборки: малая.

Закон распределения – для независимых случайных величин x,y нормальные законы распределения с   неизвестными  дисперсиями sx2, sy2 .           (В лабораторной работе sx2 = sy2 .)

Статистика:

.                          (13)

 

;                                                                       (14)

.                                                                      (15)

Закон распределения статистики U – распределение Стьюдента                с   n=n1+n2 –1  степенями свободы (8).

Условия принятия Н0:  |U| < |Ukp|.

Для иллюстрации можно использовать рис.1, для расчетов - формулы (9), (10), (11) при различных модификациях гипотезы Н1.

 

1.6. Проверка гипотезы о средних значениях контролируемого

параметра двух больших партий изделий с произвольным

законом распределения по выборкам большого

объема (n1=40; n2=40)

Гипотеза Н0: , определяемые соотношениями (12).

Гипотеза Н1: .

Вид выборки: большая.

Закон распределения: произвольный.

Статистика: определяется соотношениями (13),(14),(15).

Закон распределения статистики U – нормальный, mu=0; su2=1.

Условия принятия Н0: |U| < |Ukp|.

Для иллюстрации – рис.1, для расчетов – формулы (2),(3),(4) при различных модификациях гипотезы Н1.

1.7. Проверка гипотезы о средних значениях контролируемого

параметра двух больших партий изделий с произвольным

законом   распределения   по   двум малым выборкам

(n1=40; n2=40)

Гипотеза Н0: , определяемые соотношениями (12).

Гипотеза Н1: .

Вид выборки: малая.

Закон распределения:  произвольный.

Статистика: Z=x-y; n=n1=n2.

, (16)

где .

Закон распределения статистики U –  распределение Стьюдента с n=n1-1 степенями свободы (8).

Условие принятия Н0: .

Для иллюстрации можно использовать рис.1.

 

.                                                                              (17)

1.7.1.  Модификация гипотезы Н1

 

Условия принятия Н0: U<Uкр,

.                                                                              (18)

1.7.2. Модификация гипотезы Н1

 

Условия принятия Н0: U>-Uкр,

.                                                                               (19)

 

1.8. Проверка гипотезы о дисперсиях контролируемого параметра

двух больших партий изделий с нормальным законом

распределения по выборкам малого объема (n1=10; n2=10)

Гипотеза Н0:  , оценка которых определяется по формулам (14),(15).

Гипотеза Н1:  .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: нормальное распределение.

Статистика:1)                       (основная статистика);

2)  .

Статистика 2 часто используется при табулировании.

Закон распределения статистики U:

1) F – распределение Фишера с числом степеней свободы числителя  и знаменателя

Плотность распределения

 

(20)

 

2) F – распределение Фишера с числом степеней свободы числителя (большей дисперсии)  , знаменателя  .

Условие принятия Н0:

(рис.2)

для числителя,

для знаменателя.

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

 

 

Рис.2

1.9. Проверка гипотезы о дисперсии контролируемого параметра

большой партии изделий с нормальным законом

распределения по выборке малого объема (n1=10)

Гипотеза Н0:  , оценка  определяется формулой (14).

Гипотеза Н1: .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения нормальное распределение.

Статистика:

,                                                                             (21)

где  определяется формулой (5).

Закон распределения статистики U– c2–распределение, закон Пирсона с числом степеней свободы k=n1-1.

Плотность распределения

 

0 £ x £ ¥.                           (22)

 

Условие принятия гипотезы Н0:

 

c12 < c2 < c22 .                                                                                                      (23)

 

Графическое представление дано на рис.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3

 

1.9.1. Модификация гипотезы Н1

Условие принятия Н0:

 

c2 < c22 .                                                                                                  (24)

1.9.2. Модификация гипотезы Н1

Условие принятия гипотезы Н0:

 

c2 > c12 . (25)

Если вместо статистики c2 подставить ее  выражение из (21) в условия принятия гипотез (23),(24),(25), то можно получить условия принятия гипотез по оценкам дисперсии

 

.

1.10. Методические рекомендации к теоретическому разделу

 

Целесообразно при оценивании параметров распределений формируемых статистик отследить влияние на точность оценок размера выборки. Следует при этом убедиться, что при переходе к интервальному (доверительному) оцениванию точность оценок не повышается. Такой прием (интервальное оценивание) позволяет знать точность и надежность (достоверность) оценки и не более.

Одним из путей повышения точности оценок является увеличение объема выборки n1.

 

2. Критерий согласия законов распределения А.Н.Колмогорова

 

На практике и в данной лабораторной работе возможны ситуации, когда при обработке данных о распределении ничего неизвестно (варианты 1.3, 1.6 и др.), поэтому желательно иметь критерии согласия, свободные от конкретного закона распределения. Таким критерием является критерий согласия Колмогорова. В качестве меры близости взято максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения   и соответствующей теоретической функцией распределения  F(x).

Схема применения критерия Колмогорова может быть представлена последовательностью шагов:

  1. Находится D = max .
  2. Определяется величина y = D×.

В лабораторной работе за n будем считать величину выборки, использованной для построения .

3. По таблице «Функция распределения Колмогорова» находится вероятность

D < y ).

Если вероятность F(y) мала, например F(y)£0,05, то гипотезу о соответствии двух законов распределения следует считать правдоподобной, совместимой с опытными данными. Таблица формируется программно в лабораторной работе.

 

 

Функция распределения Колмогорова

Y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,3

0,0000

0000

0000

0001

0002

0003

0005

0008

0013

0019

4

0028

0040

0055

0073

0097

0126

0160

0200

0247

0300

0,5

0,0360

0428

0503

0585

0675

0772

0876

0986

1103

1228

6

1357

1492

1632

1777

1927

2080

2236

2396

2558

2722

7

2888

3055

3223

3391

3560

3728

3896

4064

4230

4395

8

4559

4720

4880

5038

5194

5347

5497

5645

5790

5933

9

6073

6209

6343

6473

6601

6725

6846

6964

7079

7191

1,0

0,7300

7406

7508

7608

7704

7798

7889

7976

8061

8143

1

8223

8300

8374

8445

8514

8580

8644

8706

8765

8723

2

8878

8981

8987

9030

9076

9121

9164

9206

9245

9282

3

9319

9387

9389

9418

9449

9478

9505

9531

9557

9580

4

9603

9646

9651

9665

9684

9702

9718

9734

9750

9764

1,5

0,9778

9791

9803

9814

9826

9836

9846

9855

9864

9873

6

9880

9888

9894

9901

9908

9914

9919

9924

9929

9934

7

9938

9942

9946

9950

9953

9956

9959

9962

9965

9967

8

9969

9971

9973

9975

9977

9979

9980

9981

9983

9984

9

9985

9986

9987

9988

9989

9990

9991

9992

9993

9994

 

 

 

3. Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с содержанием лабораторной работы, изучить изложенные в работе варианты оперативного статистического контроля. Экспериментальный закон в лабораторной работе строится графически и таблично по 300 значениям статистики для каждого варианта контроля. Это позволяет наглядно представить законы распределения (рис.4), используемые при контроле качества промышленной продукции, и судить о близости теоретического и экспериментального законов, что очень важно для понимания методики контроля с помощью доверительных интервалов. Расчеты проводят с помощью программы «статистика». Для варианта № 1 окно расчета для примера представлено на рис. 5.

 

 

Для каждого варианта контроля построить плотности распределения и функции распределения статистики на основе экспериментальных данных и теоретических зависимостей. При этом для расчетов можно использовать программные продукты изученных лабораторных работ.

3. Построить доверительные интервалы для каждого варианта  контроля.

4. Для одной из экспериментальных функций распределения, используемых для контроля качества, оценить по критерию Колмогорова близость к теоретическому закону распределения.